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8. Le funzioni analitiche numerico-integrali — Le operazioni numerico-integrali si 

 estendono coli' introduzione del concetto di funzione analitica numerico-integrale di una 

 funzione numerica. 



Tale estensione è fondata sulla prop. seguente 1 ): 



'1 — Se R è il raggio di convergenza della serie 



a + a t s -j- a 2 z + ...+ a >» 8 "' + > U) 

 e se qualunque sia il divisore d di n S2 //<7 



I /(«*) |< Je , (2) 



allora la serie 



a a{n) + + ««/"V) + - + a m f" (n) + (3) 



è assolutamente convergente. 



Se ^ è la funzione rappresentata dalla serie (l) nel suo cerchio di convergenza, la 

 somma della serie (3) si denota con <j> (f x (n) ), e la funzione 'j> (/ x ) dicesi la funzione 'j 1 

 numerico-integrale di f. 



"2 — Se le condizioni espresse nell'enunciato della prop. precedente sono sod- 

 disfatte, e se inoltre g è una funzione numerica tale che per ogni divisore d di n 

 si ha sempre 



\f(d) + g(d)\<R , (4) 

 allora vale la forinola, analoga a quella di Taylor: 



La determinazione della somma della serie (3) è un' applicazione notevole di questa 

 formola. Vi si muti infatti f (n) in f(l)a(n), e g (n) in f(ii) — f(ì)a(u). Si ottiene, os- 

 servando che la condizione (4) è verificata in conseguenza della (2) : 



* { A„ } >=«(„)* (/u» + t/wa»*w ¥WÌ)+ (/-°/»»*(»> f (/( „ )+ ... (5) 



Il secondo membro di quest' eguaglianza ha un numero finito di termini, perchè 



ni 



(f - af(l)f (») = 



non appena m supera z (n). 



) Specimen , n. 16. 



