Sui priiic/p// del ( alcolo aritmetico-integrale 



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3. — Se f è una finizione composta si ha: 



k* /"(«"> = -^-/ > (« lu ) ; 



£ s<? n wo« è una potenza di un numero primo : 



log f x (n) = . 



Ulteriori estensioni possono farsi della nozione di funzione analitica numerico-inte- 

 grale, considerando le serie di potenze, ad esponenti interi negativi o fratti, di una o più 

 variabili. Sorvoliamo su questo argomento, come pure alle sue applicazioni alla teoria 

 delle serie di Dirichlet 



9. Equazioni numerico-integrali 2 ) — La forinola (6) del n. precedente ci dà una 

 soluzione dell' equazione numerico-integrale binomia, di grado ///, nella funzione numerica 

 incognita g : 



»/ 



g* f, (1) 



nell'ipotesi che sia /'(l)=| = 0. Basta infatti porre, nella detta forinola, s = — . In tal caso 



m 



l'equazione (1) ha evidentemente m, e non più, soluzioni (distinte), e queste corrispon- 

 dono alle m radici m 1 ""' del numero f(l). Anzi, se g è una soluzione della (1), e si 

 denota con e una radice primitiva m ima dell'unità, tutte le soluzioni della (l) sono 



2 W» — 1 



cr sp - e o- £ <r 



Se f{\) = 0, allora la ( 1 ) non è possibile se non intercedano speciali relazioni fra i 

 valori della funzione /. 



È notevole la proprietà: 



•1 — Se f è una funzione imprimitiva (non nulla), quella soluzione g della (1), 

 per la quale si ha g (l) = l, è anch' essa imprimitiva. 



Infatti, se denotiamo con G la funzione imprimitiva che per le potenze dei numeri 

 primi assume lo stesso valore di g , poiché si ha 



m 



G (a ) = f(a ) , 



risulta (2"2), qualunque sia n: 



m 



G x («) = f(n) , 



4 ) Specimen, % il. 



2 ) Quest' argomento non è trattato nello Specimen. 



