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Mieli eie Ci poli ii 



| Memoria XI.] 



cioè G è una soluzione della (1). Ma G (\) = 1, dunque G=g , e però g è una fun- 

 zione imprimitiva. 



Consideriamo più generalmente un' equazione numerico-integrale di grado ni : 



tlt HI — 1 



f xg x + fag* + ... + f m . lXg + f m = 0. (2) 

 Si ha la prop. : 



"2 — Se l' equazione algebrica : 



/; ( i) x m + f t ( \)x m -" + ... + f m _ x (i)x + /„(i)= o (3) 



//r< k radici semplici, V equazione numerico-integrale (2) //a k soluzioni (distinte). 

 Infatti per il valore 1 dell' argomento la (2) dà: 



/oU)/'(l) +A(l)/ t ' 1 (l) + - +/ f m-l(%(l) + = 0, 



quindi g (l) dev'essere radice dell'equazione (3). D'altra parte, il coefficiente di g (») 

 nello sviluppo del primo membro della (2) è 



mf ([)g"~\i) -f- {m-ì)f l {ì)g m ~ 2 (1) + ... + /",„_! (1), 



e se questo coefficiente è diverso da zero, se cioè g (\) non è radice multipla della (3) 

 il valore g (//) si ottiene dai valori della g, corrispondenti ai numeri minori di ;/, risol- 

 vendo un' equazione lineare. 



In corrispondenza, dunque, di una radice semplice della (3) resta definita una fun- 

 zione g soddisfacente alla (2). 



Ad una radice multipla della (3) non corrispondono, in generale, soluzioni della (2), 

 salvo che fra i valori delle funzioni f , f if ... , f m non intercedano speciali relazioni. 



II. 



La coni posizione soni mal ori a. 



10. Composti sommatori, e funzione sommatoria di una funzione numerica — Per 

 semplicità di notazione useremo il simbolo [x] per rappresentare il massimo numero in- 

 tero che non supera x, e denoteremo con f[x\ il valore che una funzione numerica f, 

 assume per il valore |.v| del suo argomento. 



Chiameremo composto sommatorio di f con g, e lo denoteremo con fog, la fun- 

 zione numerica che per ogni numero intero n risulta eguale alla somma di tutti i pro- 

 dotti della forma /MgT - ^-] i che s ' ottengono facendo percorrere ad r la successione 

 dei numeri interi da 1 ad n : 



n 



(fog)(n)= yf(r)g.\^-~ . 



