Sui principii del Calcolo aritmetico-integrale 



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Il composto sommatorio di f con o si dirà la funzione sommatoria di / e si de- 

 noterà con Sf: 



Sf(n) = (foo)(n) = f{\) + f(2) + ... + f{n). 



Denoteremo poi con Df la funzione numerica che ha il valore f(ì) per il valore 1 

 dell'argomento, ed è, per n maggiore di L, definita dalla forinola 



Df(n) = f(„)-f(n-l). 



È necessario supporre, per ciò che diremo, che le funzioni siano definite nulle per i 

 valori non interi positivi dell'argomento; in caso contrario esse devono moltiplicarsi per 

 la funzione numerica o (x), indicatrice dei numeri interi positivi, cioè eguale a 1 se x è 

 intero positivo, ed eguale a in ogni altro caso. 



La relazione fondamentale fra le operazioni o e x è data dalla prop. seguente : 



"1 — Qualunque siano le [unzioni numeriche f, g, si ha 



D(pg) = fxDg. 



(1) 



La dimostrazione è semplicissima. Infatti, per la definizione del simbolo D risulta 



n 



D(fog)(u)= y 2 i f(r) 



e basta osservare che la differenza 



è nulla se r non è un divisore di ed eguale a Dg |~j se ; ' divide // , per ricono- 

 scere che il secondo membro dell'eguaglianza precedente è il prodotto integrale di f per 

 D^, relativo ad u. 

 Osservando che 



SD/" = DSA = /, 



si trae dalla (1), dopo avere operato su ambo i membri con S e poi mutato g in Sg : 



S (fxg) = foSg , 



(2) 



cioè : 



'2 — La funzione sommatoria (tei prodotto integrale di due funzioni nume- 

 riche è uguale al composto sommatorio di una di esse con la sommatoria del- 

 l'altra. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Meni. XI. 



