Sui principii del Calcolo aritmetico-integrale 



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b) Se si pone fin) = 11% e si denota con a, (//) la somma delle potenze s"" e dei 

 divisori di n si ha : 



(l* + 2' + -+[fT) = [f] 1 ' 



».(!) + +... + «.(») =2 



1=1 



e in particolare (0 = 0^: 



a(l) + o(2) + ... + o(ii) = 4-2 



r=l 



c; Posto /= $ s = 3 (//* | ») , si ha : 



n 



\ s -f 2* 4 ... + rc s =2 (^t 1 ) + ®'< 2 ) + - ■+ $ 



■1 + 



e in particolare, se s = 1 e però ^ — cp, si ottiene la forinola di Dirichlet 

 11 (n + 1) 



?(D 4 y|«P(2) 4 



rfy Si faccia ancora /= |i, e si denoti con il/ la funzione sommatoria di [1 ; si ot- 

 tiene la forinola citata da Meissel z ), e dimostrata da Bugajef 3 ) e Lipschitz 4 ) : 



1 =M[^\ 4 M [-f] + ... = [-f ] MD+[t]M2) + 



Questa forinola si può successivamente trasformare. Si muti » in 



mo membro che è uguale a o(«) diviene u 



e pero 



— [■f] = *[-r] + *[T] + *[f] 



(7) 



; allora il pri- 



(7)' 



dove ora il secondo membro contiene soltanto i termini nei quali figurano a denominatore 

 i numeri dispari. Se dunque n S> 2, si ha 



= iif [-=-] h- if [-=-]+ ^ [-=-] + -. ■ 



Cambiando nella (7)' 11 in [~J si ottiene, per sottrazione dalla (7') stessa : 



t •<•> — [-r] - °[t] + ° fé] = 2 *[-t]. 



') Abh. Akad. Berlin, a. 1849, p. 6g (math.). 



2 ) MEISSEL, Observationes quaedam in theoria numerorum, Berlino a. 1850. 



3 ) Raccolta della Soc. mat. di Mosca (in russo), t. 6, a. 1872-3, p. 179. 



4 ) C. R. Acad. se. Paris, t. 89, a. 1879, p. 948, 985. 



