')') 



Michele Cipolla 



[Memoria XI. j 



essendo la somma estesa a tutti i numeri r che non sono divisibili nè per 2 nè per 3. 

 In generale si ha 



i=l (,;=l 



= — 



(7)" 



dove le somme a primo a membro si estendono a tutte le combinazioni, rispettivamente a 

 1 a 1, a 2 a 2, ... , dei numeri primi p tì p-ì, ... , p h , mentre nel secondo membro la som- 

 ma è estesa a tutti i numeri r che non sono divisibili per nessuno dei detti numeri primi. 

 Si noti che il primo membro è nullo se u^p l p 2 ... p K . 



e) Infine si faccia g(rì) = ( — l)" -1 nelle (5) del n. 10 e si noti che in tal caso S.g'j^-J 



è uguale a o ad 1 secondo che è pari o dispari. La detta (5) diviene : 



7 M 



essendo la somma a primo membro, estesa a tutti i numeri // pei quali 



e poiché, per la (6) del presente n 

 risulta la forinola di Cesàro ') : 



~\ e dispari ; 



./(«) = 



il secondo membro è uguale a sjf{n) — 2S jf 

 S ff(n) - 2S// [.-=-] . 



(8) 



In particolare, se f— <p 



2 



(«) = 



e se /= {!• : 



2 



= m 



cioè : il numero degli u, relativi ad un numero n maggiore dell' unità , che sono 

 il prodotto di un numero dispari di fattori primi tutti differenti , supera di una 

 unità il numero degli u che sono il prodotto di un numero pari 2 ) di fattori pri- 

 mi tutti differenti. 



12. Derivate totali. — Diremo derivata totale di una funzione numerica /, e la in- 

 dicheremo con A f f composto sommatorio della funzione con f. Adunque 



H 



v/<»> = 2 ->4f] =/w - 2A-k\ + 2fàl - + - • <•> 



1 ) Giorn. di Matematiche, t. 25, a. 1887, p. 1. 



2 ) Lo zero compreso, cioè inclusa 1' unità fra i numeri u (caso di n dispari). 



