Sui principi! del Calcolo aritmetico-integrale 



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essendo, nell' ultimo membro, la prima somma estesa a tutti i numeri primi pi, pi, ... , 

 che non superano n ; la seconda somma a tutte le combinazioni a due a due dei mede- 

 simi numeri primi, ecc. 



Le due operazioni A e V sono inverse l'una dell'altra, cioè: 



AV/ = VA/ = /. 



Infatti (10.3) 



A Vf = A(oof) = |io (oof) = (jixo) o/' = «o/' = / , 

 VA/" = i)3(t*.OjO = (oxp.)o/ = ao/' = /'. 



Le derivate totali dei vari ordini si definiscono per ricorrenza con la forrnola 



A m+1 / = A A m f , 



e la definizione iniziale 



Evidentemente 



A 1 / = Af 



(2) 



Supponendo che nella (14) del n. 10 sia g — \L t si ottiene la seguente relazione fra 

 le derivate totali dei vari ordini, di una funzione numerica f: 



fin) = [ ™ )Af(u) - ( "Ì ) A 2 f(n) + ( * ) A 3 f(n) - ... , 



essendo qui un numero naturale qualunque, purché maggiore di ciascuno dei numeri 

 t(1), i(2),..., t(«). 



Dalla prop. 10"3 si trae facilmente : 



e più generalmente : 



A(fog) = pAg = dpg, 



A" 1 (fog) = pA m g = d'"/og 



(3) 



(4) 



In particolare, se g — o 



A m s/ = sa"/, 



(5) 



e questa forrnola, nell'ipotesi m=l, confrontata con quella che si ottiene dalla (13) del 

 n. 10 quando g = a dà una doppia forinola di trasformazione per le funzioni sommatorie: 



df(\)±df(2)±...+df(n)=Sf(n)-ZSflj-\+^^ (6) 



