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[Memoria XI.] 



dove M è la funzione, tanto importante nella teoria dei numeri, definita al n. 11, d): 



M(n) = |i(l) + |x(2) + ... + \l(h) = A«(«) . 



Si noti che la forinola di Meissel-Bugajef-Lipschitz , cioè la (7) del n. precedente, 

 può mettersi ora sotto la forma semplicissima seguente : 



An = 1 , (7) 



purché s'intenda che la derivazione totale a primo membro si riferisca alla funzione (n \ n). 

 Possiamo fare uso della (6) per invertire le forinole particolari del n. 11. Ad es : 



a) Ponendo f{n) = v (n s ) si ricava: 



S *(D _|_ 5 *W + ... -4_ S M«) _. A ( v( P) + v(2^)+...+ v(;^)) = v(l^/ [^-] +v(2 s )M[-^-] + ... , 

 e in particolare (s = 1): 



/; = A(v(l) + v(2) + - + v(«)) = v(l)il/[-f ] + v(2W [-^-j + ... . 

 b) Ponendo f{n) — a„. (//), si ha 

 !• + 2* -f ... + n° = A (o,( 1 ) + o,(2) + ... o s {nj) = o s ( I )M [ ~ ] + a a (2)M [^-] + ... , 

 e in particolare (s = l) : 



o(l)Af[-f]+o(2)AT[-f ]+..,, 

 + n *) = pw [-f "] + 2 S M [-f ] + ... , 



XM [-f ] + 2/li [f ] -]-..., 

 Questa forinola, quando si noti che in virtù della (7) si ha : 



w(M-f-D 1 8 . I l 8 , 1 



A — — — A// 2 + — An = — A;r + — , 



contiene il risultato dovuto a Perott 4 ) : 



«» + «*> + - + = --t (' + - 2 fó] + 2 I I' •••) • 



" ( ", + " = + o(2) + ... + »(«) 



c) Posto fin) — n s , si ha : 

 $,(1) + ^(2) + - + *.(») = A( l 5 + 2 S + 

 e in particolare (s = 1) : 



cp(l) + a>(2) + ... + <p(»)= A 



o 



l ) Bull. se. math., t. 4. 



