Sui principii del Calcolo aritmetico-integrale 



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13. La funzione a s (n) — Interessanti forinole si possono dedurre dai risultati prece- 

 denti introducendo la funzione numerica a,. (//), eguale a o a 1 secondo che n e divi- 

 sibile o no per una potenza s""" di un numero naturale maggiore dell' unità. 



La funzione «, (,//) si riduce alla funzione a (unità integrale) quando 5— 1. 



Il calcolo della derivata di «, si eseguisce speditamente quando si osservi che questa 

 funzione è imprimitiva. Poiché 



i , se (o —\— 5 , 

 da s (a w ) = a,(a w ) — a^a'-" -1 ) = j 



( — 1 , se co = 5 , 



si può in ogni caso porre 



io 



e però si ha 



i 



= n(«T) . (1) 



Denotiamo con Q s la funzione sommatoria di a s . Evidentemente Q s (//) è uguale al 

 numero dei numeri naturali non superiori ad // , che non sono divisibili per potenze s'""' 

 (maggiori di 1). 



Applicando la forinola (6) del n. 11, si ottiene subito la forinola di Gegenbauer l ) : 



QAm = [ J r]i^)+ [-f | |i(2 v ) + ... =2["5*] W = 



r 



= " " [#J + 2bsrf - - ■ 



Questa si riduce, se s=l, alla formola di Meissel-Bugajev-Lipschitz (n. 11, ci). 



Bugajev e Hacks hanno ottenuto dei risultati eleganti relativamente alla funzione Q d (//). 

 Questi possono facilmente dedursi dai principi generali del calcolo aritmetico-integrale. A 

 tal fine poniamo per semplicità di notazione: 



fKn) =f(nh , 



essendo f una funzione numerica qualunque, sempre nulla pei valori dell'argomento, che 

 non siano interi positivi, ed osserviamo che si ha (10.2): 



a,oS/<*> —- S(a,x/' ( " ) ) . 



Per lo studio del prodotto integrale a s x/ w conviene introdurre il simbolo o/„ per 

 denotale la massima potenza s""" che divide //. Allora si ha 



(«„x/W) in) = ^ «>■ (f) f {s) (<*) = ^ * s ("^") f(p) ' 

 d 3 



') Denkschr. Ak. Wien (math.), t. 49. I, a. 1885, p. r. 37: II. p. 105 : t. 50. I. a. 1885. p. 153. 

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