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si ha 



n 



fin) I gin) = y(f{r,n) - f{r, n-ì)) g (r) ; 



r=i 



cambiando poi n in n — 1, u — 2,... , 2, l e sommando si ottiene la forinola: 



11 M 



^/(r)fg(r) =^f[r,n)g\r). (1) 



/'=! 1=1 



Se in questa si cambia g in dg, e poi si muta / in g e g in / si ottiene 



n n 



y ' f(r, n) dg(r) = ^ g (r, n) df{r) . (2) 



r=\ r=l 



Fra le varie applicazioni di queste formole sono particolarmente notevoli quelle che 

 se ne fanno nella teoria dei numeri primi. Ci limiteremo qui ad un cenno. 



Denotiamo con z(n) il numero dei numeri primi che non superano ;/ , e con n i un 

 numero naturale soddisfacente alla condizione : 



c(») > //, ^ c [I n] . 



Denotiamo poi con Q (n) l'unità o lo zero secondo che // è composto esclusivamente 

 o no di fattori primi appartenenti al sistema 



p, , p, , ... , p, h ; (3) 



ed osserviamo che si ha 



I n(„) Q(„) = n (l-Q(a)J , 



e quindi j \>. {n)Q (;/) è uguale a 1 se // non è divisibile per alcuno dei numeri (3) , ed è 

 nullo in caso contrario. 



Ciò posto, facciamo in (1) 



g(n) = \i (n)Q[n) , 



e poniamo 



e (u) = /(p,) + /(p t ) + ... + f(p z{n) ) t 



v r (», //.,) = / ( i , //> — , ») -f S/ip.p, , ») 



