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si ottiene 



8(») == *(»,*,) + e (/>„,) -/(!)• (4) 



Questa formola risolve il problema di calcolare la somma dei valori che prende 

 una funzione numerica f (x) quando x percorre la successione dei numeri primi 

 che non superano n, noti soltanto i numeri primi che non superano \ n- 1 ) 



Se nella (4) si suppone / = 'j, si ricava la formola di Meissel 2 ) : 



Se si suppone invece fin) = n , e si denota con S (//) la somma dei numeri primi 

 che non superano // , si ottiene la formola di Sylvester 3 ) : 



so = s (P „,) - . +^to- jU | . | | , | + 1) + 



»=i 



Se nella (4) si suppone che fin) abbia il valore 1 o secondo che // appartiene o 

 no alla progressione aritmetica 



N, M -\- N, 2M-\- N, 3M -f N, ... , 



si ottiene una formola che comprende, come casi particolari , le formole di Legendre sul 

 numero dei numeri primi di una progressione aritmetica , che non superano un numero 



assegnato ; ecc. 



Finalmente , supponiamo che f(u) non sia mai nulla e mutiamo nella (4) f(n) in 

 \ogf(n). Ponendo 



P(»)=f(p l )f(p. 2 )...f(P, (lìì ), 

 Q (r,n) =/(r)/(2r).../([-f ]r) , 



') Cfr. la mia Memoria Estensione delle forinole di ME1SSEL-ROGEL e di TORELLI sulla totalità dei 

 numeri primi che non superano mi numero assegna/o (Ann. di Mat., s. 3, t. Il, a. 1915, p. 25); nella 

 quale si fanno varie applicazioni della forinola (4). e si deducono da questa altre formole che richiedono un 

 minor numero di numeri primi. 



'-) MEISSEL, Berechnung der Menge dei Primzahlen innerhalb gegebenen Grenze , Math. Ann., t. 2, 

 a. 1870. p. 636: t. 3. a. 1871. p. ^23 : t. 21. a. 1883, p. 302 ; t. 25, a. 1885. p. 251 — Cfr. pure ROGEL, 

 Recnrsive Bestimmung der Anzalil Primzahlen in/ter gegebenen Grenzen Sitz. k. bom. Gesell. der Wiss., 

 Math. Nat. Classe, a. N. XXII. 



3 ) SYLVESTER, Note sur le théorème de LEGENDRE, Comp. rend. de l'Ac. des Se. de Paris, t. 96. a. 1883, 

 p. 463 —V. anche LERON, Rend. Circ. mat. di Palermo, t. 18. a. 1904, p. 269- 



