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Michele Cipolla 



[Memoria XI.'J 



a) Sia f eguale alla funzione y di Tchebichev, che ha sempre il valore 1, escluso 

 il caso che l'argomento sia una potenza di un numero primo, perchè allora il suo valore 

 è uguale a questo numero primo. 

 Poiché manifestamente è 



11 = Uy(d) , 



d 



la (3) fornisce la forinola 



X(l) tl] x(2) C * ] ...x(») C "- I = 



o anche, in virtù della definizione di X : 



n ! = Wp [ 



p 









L p . 





L A' J 



(6) 



Questa forinola esprime il teorema di Legendre : 



L' esponente della più alta potenza di un numero primo p, che sia contenuta 



in n ! , è uguale a 



Il 1 





1 " 





U 



L^ 3 



b) Determiniamo fin) in maniera che si abbia 



a (ti) = U /'((/) . 

 d 



In virtù della legge inversiva dei fattoriali integrali (10' 4) si ha : 



!'•("') 



f{n) = ilcp 4 



poi, ricordando che q»(») è una funzione imprimitiva ed applicando la prop. 10" 1 , si 

 ottiene : 



p 



-1 



, se 



u è uguale ad un numero primo p , 



fin) = 



P 



, se 



n - 



= p"\ ed (0 > 1 , 









1 



, in 



ogni altro 



caso . 







dalla (4) si trae : 































ii 



<ù(n) = U{p~\) 

 p 





Up 



V 



. P- 







P 



.~P~ 



e in virtù della (ó), si ottiene la formola di Cesàro 



u ■ 



?(l)<p(2)...<p(M)= n\ - 



m ,»\[-rl/4\[f] /6\[-f] 



Riportata, senza dimostrazione, nel l'.-J ualisi algebrica dell' A . . p. 25. 



