Sui priìicipii del Calcolo aritmetico-integrale 



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Come conseguenza delle proprietà dei fattoriali integrali si possono ottenere varie 

 espressioni del prodotto (1). 

 Ad es. si ha 



logP = g-oSlogf, 



quindi, posto 



si trae 



U(n) = f(\)f(2) ...f(n) , 



n /■(,-) L ' J = n u\ — \ , 



=1 r=\ L ' 



(V) 



(8) 



In particolare, se g - = o, si ottiene 



U — U 



[i ] fcyhrì f(,,\l" ] 



u\ — \ =r(D L ~ J / e (2)L— j . ../(„) 



(9) 



a) Supponiamo sia /"(«) 



quando è // > 1, e /(D= 1, allora è U(n) — n, 



quindi : 



h ! U: I 



fi) Se /"(«) = n, la (9) e la (4), tenendo presente una forinola del n. 10, danno : 



v(2) v(3) v(h) 



[-1 





zi 





r il 



= l l 1 - 



9 



2 J 



... // 



II 



„ 2 2 2 



2 .3 ... // 



7) Supponiamo infine che sia / = X- In virtù della (6) si ha 



essendo ora 



U(n) = x(l) X(2) - X(») 



(10) 



Il risultato (10), sotto una forma poco diversa, è stato applicato dal Tchebichev nella 

 dimostrazione dell' esistenza di un numero primo compreso tra // e 2n — 2, per ogni n 

 maggiore di 4. 



Si chiami fattoriale primaria, d'ordine q, del numero n la funzione Q f/ (n), eguale al 

 prodotto di tutti i numeri naturali, maggiori di l, la cui potenza q"" a non supera n, e sia 



dJn) = 1 , se n < 2'' . 



Ora si ha manifestamente 



U{ii) = i(2) ... yin) = 0,(11) »,(») 9,(w) ... , 



