Determinanti della teoria dei numeri 



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Se quindi si pone, per ogni // : 



g v (n) = F-" {ì).g[n), (5) 



risulta 



g{n) = ±{F, gpF, n). (6) 



Questa forinola risponde al primo problema : Perchè il determinante (2) rappre- 

 senti la funzione g, basta assumere per H il composto sommatorio di g i con F : 



H = gpF , (7) 



essendo g t la funzione numerica definita dalla (5). 



Si riconosce facilmente, pei' es. col processo d' induzione completa , che non si può 

 soddisfare al problema con una funzione numerica H diversa da gpF. 



Se F([) = 1, la funzione g [ coincide con la g, e perciò bisogna porre 



H = goF. (8) 



2. Prima di applicare il risultato ottenuto, richiamiamo alcune proprietà dei com- 

 posti sommatori. 



Sia F la funzione sommatoria di una funzione /', cioè si abbia, per ogni // : 



F(n) = /(l) + /(2) + • • • +/(») • 



Per esprimere la relazione tra f e F conviene spesso usare uno dei simboli S , D , 

 definiti come segue 



S/(») = F{n), DF{u) =/(») = F(n) — F(n—1), 

 Ciò posto, si ha la proprietà (*) 



goSf = pSg . (9) 



Questa si deduce immediatamente dalla seguente altra 



goSf= S(gxf), (10) 



dove con gxf denotasi il prodotto integrale di g per /', ciò quella funzione numerica 

 che per ogni // è definita dall' eguaglianza 



(gxf)(n) = ^g(d)f(~), 



essendo la somma estesa a tutti i divisori d di //. 



(*) I. e. n. to. furinola (4). 



