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Michele Cipolla 



| Memoria XII. | 



Pei' stabilire la (10) basta osservare che 



D(goSf) = gxVSf = gxf; 



poi, in virtù della proprietà commutativa del prodotto integrale, dalla (10) segue la (9). 

 Dalla (10) segue pure la proprietà 



ho(goF) = (hxg)oF, (11) 



essendo // una funzione numerica qualunque. 



La funzione a che ha nel prodotto integrale lo stesso ufficio che V unità nel prodotto 

 aritmetico, cioè soddisfa alla condizione 



/sa =/, 



qualunque sia la funzione /, ha il valore 1 o secondo che 1' argomento è uguale o mag- 

 giore dell' unità : essa dicesi 1' unità integrale. 



Due funzioni numeriche il cui prodotto integrale è uguale ad a diconsi coniugate. 



La coniugata di una funzione numerica f esiste solo quando è f{\) —\— ; essa è uni- 

 ca, e si denota con f 



Essa può facilmente calcolarsi per ricorrenza (*) : in seguito la esprimeremo con un 

 determinante analogo a quello considerato precedentemente. E utile anche sapere che se 

 la funzione /' è imprimitiva (**), tale è pure la sua coniugata. 



Denoteremo con o la funzione numerica che ha costantemente il valore 1. 



Il prodotto integrale di f per u dicesi l' integrale numerico di /', e si denota con jf: 



jf(n) = ^f(d) ■ 



d 



La coniugata di o è la funzione |i di Mobius , che ha un valore diverso da zero 

 quando il suo argomento è composto di fattori primi tutti diversi : in questo caso il suo 

 valore è 1 o — 1, secondo che il numero dei detti fattori primi è pari o dispari. 



Il prodotto integrale di f per |x dicesi la derivata numerica d'i /, e si denota con 

 df. Essendo a, b, c, .... i diversi divisori primi di risulta dunque 



3/(«) =/(«) + 



Si ha 



fdf=djf = f. 



(*) Si hanno delle formule adatte per il calcolo della coniugata, v. la Meni, cit . , n. 5. 

 (*'*) Una funzione / si dice imprimitiva se per ogni coppia di numeri m, n primi fra loro si ha 

 f (mn) =f(m) . f(ii), e si dice composta se questa proprietà sussiste qualunque siano vi ed n. 



