Determinanti della teoria dei numeri 



5 



3. Supponiamo che F sia la funzione sommatoria di o, e però, per ogni 11, F{n) = n. 

 Allora gli elementi del determinante (2), esclusi quelli dell'ultima colonna sono eguali ai 

 corrispondenti elementi del determinante (1). 

 La forinola (8) diviene 



H = £-oSo , 



ma per la proprietà (10) si ha 



goSo = (gxo) = S fg , 



quindi : 



"1 — Perchè il determinante (2), dove è F=Su, rappresenti la funzione g, bisogna 

 assumere H eguale alla funzione sommatoria dell'integrale numerico di g. 



Per es. se si vuole che il determinante (2), con F = S'j, sia eguale a cp(n), bisogna 

 assumere : 



H{n) = S/<P(») = 1 + 2 + . . . + » = ( w f) , 



poiché è noto che j cp (n) = n. Si ottiene allora il determinante (1). 

 Se si vuole che sia 



b(So,H) = |i, 



bisogna assumere eguali a 1 tutti gli elementi dell'ultima colonna. Infatti bisogna assumere 



H ■ S/|A = S« = . 



Ed ancora, perchè il determinante A (So, H, n) abbia sempre il valore c , qualunque 

 sia l'ordine è da porre 



H = Sjco — cSh = fSv , 

 denotando con v (n) il numero dei divisori di //. Pertanto (*) 



H{r) = 6 - (| ' r ] +[_L] + ...+ ]). (r=i,...,n) 



Assumiamo ora come funzione F la funzione sommatoria di |i, che denoteremo con M. 

 La (8) dà 



H = goS\>. , 



(*) V. I. c 1 1 - , n. 11. a ; n. 16, form. (6). 



