Determinanti della teoria dei iiaiiieii 



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Inversamente, si verifica facilmente che la funzione g L eguale a l/xf x soddisfa al- 

 l' equazione (1). 



Ma il determinante A (F, B, u) ha il valore g i (n)F n ([) , quando H è il composto 

 sommatorio di g\ con F, dunque 



A (F, H, n) = F n (l).^h (~) f*~\d), (15) 



d 



essendo la somma estesa a tutti i divisori d del numero //. 



Ad es. , se H = o, e però h = a, la somma a secondo membro della (15) si riduce 

 al solo termine corrispondente al valore u di d, e si ottiene 1' espressione della coniugata 

 della funzione f : 



f~\n) =^A(S/,o, n). (16) 



In particolare la funzione \>. di AIobius e data dalla forinola : 



t x (ii) = A (So, n) . 



5. Si può applicare il risultato (14) per determinare il valore del complemento al- 

 gebrico A rtr dell' r im0 termine dell' ultima colonna del determinante A (F, H, //) , cioè il 

 complemento algebrico dell' r""° termine della colonna n ima del determinante 



F(l) 



















F{2) 



F(i) 















F(3) 



F(ì) 



F(ì) 











F(4) 



F(2) 



F(l) 



F(l) 







F 



n 



F 



n 



F 



[f] 



F 



n 





I 





2 









_~4~_ 



Sviluppiamo il determinante (2) secondo gli elementi dell' ultima colonna. Si ha 

 g(n) = £ìniH{l) -f A rt2 jy(2) -f ... + L nn H{n). 



Scegliamo ora g (n) in modo che sia 



( 1 , se n = r , 

 H(n )= • 



( , se li — — i . 



Notando che allora è : 



| 1 , se n = r , 



ii (n) — \ — 1 , se n — r -|- 1 , 

 ' , in ogni altro caso 



