Determinanti della teoria dei numeri 



Fra le applicazioni cui essa si presta notiamo la seguente, relativa al calcolo di un 

 valore f x (k) della derivata di f. Si determini il numero i in modo che ki non sia di- 

 visibile per 1, allora si ha dalla (19): 



r\k) - ^ m 



/*'(!) 



7. Un determinante notevole si ottiene dal (2) sottraendo da ciascuna riga la pre- 

 cedente. Adottando sempre le notazioni (13) si ha : 



Ai) 

















f(2) 



f(l) 











A (2) 









f(l) 







h (3) 



m 



f(2) 









// (4) 



f(n) 









(n) 



(20) 



essendo la colonna r""" (/-<//) formata da elementi nulli ai posti il cui numero d'ordi- 

 ne non è multiplo di /', e dagli elementi /'(l), f(2), /(3), ... ai posti il cui numero d' or- 

 dine è rispettivamente eguale ad r, 'Ir, 3r, ... . 



Denotando con g (n) il valore di questo determinante, e posto 



g t (») = f~" (l) ■ g (n) , 

 dalla (7), in virtù della proprietà (10), si trae la forinola 



h = fxg \ , 



che risolve, per il determinante (20), il primo problema enunciato nell' introduzione. Il se- 

 condo problema e risoluto dalla (14). 



Sviluppando il determinante secondo gli elementi dell' ultima colonna , e denotando 

 in generale con Ò u il complemento algebrico dell' elemento che si trova nell' incrocio della 

 riga i l,na con la colonna y" m nel determinante ottenuto dal dato sostituendo gli elementi 



0, 0, 0,...,0, /(l) 

 a quelli dell' ultima colonna, si ottiene 



/" (lìgi (») = Ki h{\) -f h n2 h (2) + . . . + Ò nn h (n) . 

 D' altra parte, in virtù della (14), si ha : 



g (n) =*(!)□ (-f ) r" 1 (-=-) + h a) » ) r" 1 (-r) + ...+* («) « (~) r 



