Memoria XIII. 



Sulle derivate delle funzioni di linee inverse 

 Nota di E. DANIELE 



1. La relazione 



f(x) =f |[<pO, x]\ (l) 



definisce la /' come funzione di tutti i valori di cp (£) fra e x, nonché della variabile x ; 

 inversamente essa permette di pensare la cp come funzione, oltreché di x, di tutti i valori 

 di fra e x. Ammesso che nell'intervallo (0, x) esista, almeno generalmente, la de- 

 rivata della / rispetto a cp, si può domandare se esista pure la derivata di cp rispetto ad /, 

 e quali relazioni esistano fra queste due derivate. 



Tratteremo il problema dettagliatamente in due casi particolarissimi, supponendo che sia 



f{x) = ¥ [x) + I " <1> [xy) <p (v) dy , (2) 



oppure 



f(x) = r $ (xy) cp ( v) rfv ; (2') 



vedremo però subito, nelle Osservazioni ai n. 1 2 e 5, come i risultati ottenuti si esten- 

 dano a casi molto più generali, che si distinguono solo per il modo in cui la /', data 

 dalla (1), forma la sua variazione. 



2. Cominciamo a supporre che f(x) sia data come funzione di co (y) mediante la (2). 

 La derivata di /' rispetto a o è allora finita in tutto 1' intervallo (0, x) eccetto che in x, 

 ed è espressa da 



/ || <?(y), x, 7j]| = 4M.r, vi). (3) 



Risolvendo la (2) rispetto a <p, se si chiama F(xy) il nucleo risolvente di $ {xy), si 

 ottiene : 



cp (x) = f(x) + \* F(xs) f(a) da , (4) 



da cui segue la formola analoga alla (3) : 



(3') 



«p'IfrCy), i]| = fìx, 



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