Sulle derivate delle funzioni di linee inverse 



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la precedente diventa : 



fi (*) = <Pi (■*) + J x W 9i fa) , 



che è dell'identico tipo della (2); risolvendola rispetto a cp, si trova, chiamando k(.vq) il 

 nucleo risolvente di x(- r /0 '• 



9l (X) = .A (.V) + jl k (.Vq) [\ (7j) tfY] , 



ovvero, ricordando le (6) : 



e questa mostra che si ha : 



Ci) 



Il principio di reciprocità applicato ai due nuclei y^{x'q) e fe(.rvj) conduce quindi, in 

 virtù dell' ultima forinola e della terza del sistema (6), alle seguenti due equazioni fra 

 f e cp' : 



f (xYj) + «(*) « ("'0 i (xvÙ = — a (r ( ) f m' = — a {x) cp' f , 



? / ? f f <f 



che comprendono come casi particolari la (5) e la (5')- Si può notare che f r e cp' sono 

 permutabili, se a si riduce ad una costante. 



Aggiungiamo che l' osservazione l a è applicabile anche "al caso più generale ora 

 studiato. 



3. Passiamo al caso della /' definita dalla (2'). Derivando i due membri della (2') ri- 

 spetto ad x, e ponendo (*) 



la (2') si riduce alla forma 



<> (.v) = cp (x) + f H(xy) cp {y) dy) , ® 



(*) Cfr., anche per la riduzione del n. seguente : VOLTERRA, Lefons sin- ics égualions intègrales eie 

 eh. Il, g III. 



