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E. Daniele 



[Memoria XIII.] 



5. Le forinole (9') e (12'), che esprimono <p', mediante f , contengono però, oltre a 

 queste due funzioni, degli elementi ausiliari. Ora è possibile, a somiglianza di quanto si 

 fece per la f (x) definita dalla (li), ottenere delle relazioni 'in cui non figurino altro che 

 le due derivate f' w e cp^ . Queste relazioni sono ancora quelle che discendono dal principio 

 di reciprocità, applicato sia ai nuclei H e *F delle (8) e (8') , sia ai nuclei 8 e G delle 

 (11) e (11'). L'applicazione del principio all'una o all'altra coppia di nuclei conduce alle 

 stesse relazioni, com' è naturale ; noi faremo il calcolo partendo p. es. dalla prima coppia. 



Le due equazioni che legano H e V F si possono scrivere in questo modo : 



Hipcy) + Y{xy) = - £ V(xs) H{sy)ds (13 ) 

 £ H(xe) V M ds = (* W{xs) H[sy) ds , ( 13 ' } 



e ricorderemo le forinole, contenute nel n. 3 : 



vl . i (jgy) y (.vy) « , > 



(14) 



Comincieremo ora coli' osservare (*) che si può , con un semplice cambiamento di 

 variabili, fare in modo che la funzione data ®(wv) soddisfi alle condizioni: 



•«-» = '■ (-£) -[lì,: » <•« 



Ritenute adunque verificate le (15), le (14) diventano: 



ìf'Axy) dV(xy) 



H(xy) = — ~ ' — = = — o r (.vv) . (14; 



àv dy 



A queste vi sarà da aggiungere la 



H(yy) + x V{yy) = 0, 



che si deduce dalla (13) ponendovi x=y; da questa e dalle (14') e (15) seguono poi 

 le altre : 



H(yy) = - V(yy) = 0, V{xy) — - -f* <?' f (xs) ds . (16) 



(*) Cfr. VOLTERRA: Lerons sur les fonctions de lignei; eh. XI. n. i. 



