Sulle derivate delle funsiont di linee inverse 



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Ciò posto, sostituiamo nella (13) ad H ed a "F le espressioni date dalle (14') e (16) ; 

 otteniamo : 



— J„ "P/(^) ' /5 = J ;/ — ? rM àt ; 



trasformando il secondo membro colla forinola di Dirichlet e riducendo : 



— j_ =J y *V(**)/y*y)*r, (17) 



o brevemente 



'fi co 



Derivando poi la (13') rispetto a y si ottiene : 



h dx f- f{s ^ ds =lv dsdv **}* 

 e trasformando il secondo membro ancora colla forinola di Dirichlet : 



Le (17) e (17') sono le relazioni cercate fra le derivate f , a e tp' . In generale, a dif- 

 ferenza del caso (2). le f' m e cp' . non entrano simmetricamente nelle (17) e (17') ; queste 

 difatti sono equazioni integrali in cp' ,, ed integro-differenziali in f ' (B . 



' e 1 / 1 ' ( w) 



La (17') si riduce alla condizione di permutabilità di l a specie fra y'f(xy) e ? " . 



quando ^ 



cioè quando f' m ossia $ (xy), dipende dalla somma x -\- y . 

 Un altro caso notevole si presenta supponendo 



$ (.r, v) = O (x - 3') ; 



allora tutte le funzioni di x e y che figurano nel nostro calcolo dipendono dalla sola dif- 

 ferenza x — y, e quindi, come è noto (*), son tutte permutabili (di 1* specie) fra di loro. 

 La (17') si può sostituire colla 



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(*) Cfr. Volterra: Op. cit.; eh. IX, n. 6. 



