Sulle derivate delle funzioni di linee inverse 



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e questa, col porre 



m=^' tot ^ =*«■»>• 



dà luogo alla 



$ (*) = cp, (a?) + £' 7/ [xy) cp,( v) dy , (21) 

 da cui, risolvendo rispetto a <p 4 : 



Le (21) e (21') hanno la stessa forma delle (8) e (8') del n. 3, onde si avrebbe la 

 derivata di <f i rispetto a f\ espressa mediante la (9). 



Ma è facile vedere come la (9) dia ancora la derivata di cp rispetto a f. Difatti , te- 

 nendo conto delle (20) e {'20'}, la (21') si scrive: 



**W = 0(^T H nyf Ty %fiy)dy 



con 



/J ' 0(aa>) ^ M $(«) 7 $(0,0) 



Dalla (22) segue senz' altro la (9), per ogni punto yj interno all' intervallo (0, .v) ; 

 intanto si ha pure : 



Non si potranno invece scrivere, nel caso attuale, le (9') e (9"), perchè *F non rap- 

 presenta più la derivata funzionale di cp rispetto a <J>. 



Passando poi alle formole dal n. 4, si vede che vale ancora la (12), ma la (12') sarà 

 valida soltanto a condizione di costruire le funzioni H e g mediante le <f l e f i invece che 

 mediante le cp e f. 



Per ciò che riguarda i risultati del n. 5, cioè le relazioni fra / " m e cp' -, non vi è nulla 

 da mutare a quanto si trovò in quel caso particolare. Basta difatti notare che sussistono 

 le (13) e (130 P er • nuclei delle (21) e (21'), e questi, dopo quanto s'è visto ora, sono 

 sempre legati alle derivate in questione dalle (14). Sicché, ridotta la (che è nota, quan- 

 do/sia data come funzione di cp) a soddisfare alle condizioni ( 1 5), si può concludere che 

 fra /'^ e cp'^ passano le relazioni (17) e (17'). 



