M «' in ori a XIV. 



Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, 

 in particolare, su quelle d'ordine 5, 



Memoria di G. MARLETTA 



Questo lavoro è diviso in due §§. 



Nel § 1 si tratta delle superfìcie algebriche irriducibili 7 aventi infinite coniche irri- 

 ducibili, e d'ordine n^> 4. 



Dimostrato che è sempre minore di n — / la classe dell' inviluppo costituito dai piani 

 di qualunque fascio (*) di coniche esistente in 7, si assegna una costruzione mediante la 

 quale si ottengono tutte e sole le superficie dotate di infinite coniche (irriducibili). Indi 

 si studiano i casi particolari più notevoli della detta costruzione. Uno di questi, genera- 

 lizzato, assegna un'importante classe di superficie, d'ordine qualunque n, dotate di un 

 fascio di curve piane d'ordine m{<C.n)- Infine, nel n° 25, si presenta'una superfìcie d'or- 

 dine // = 6, la quale possiede la seguente elegante proprietà. Essa ha tre (soli) fasci di 

 coniche, ed esiste un (unico) inviluppo di piani, ognuno dei quali seca la detta superfìcie 

 lungo tre coniche, una per ognuno dei tre fasci di coniche in questa superficie esistenti. 



Il § 2 è dedicato alle superficie 7 d'ordine 11 = 5, e comincia col dimostrare, per altra 

 via, che l' inviluppo costituito dai piani di un fascio di coniche di 7, è di classe jj. <C 4. 

 Indi si studiano, una per una, le ipotesi \i = 3, jx = 2, \>-=l, deducendone le superfìcie 

 (d' ordine 11 — 5) alle quali rispettivamente danno luogo, e così si trovano, con metodo 

 originale, insieme con superficie nuove, tutte quelle conosciute (d'ordine 11 = 5 e dotate di 

 infinite coniche). 



§ 1. 



1. Sia 7 una superficie algebrica irriducibile d'ordine n^> 4 e avente infinite coniche 

 irriducibili. 



Cominciamo ad osservare che 



a) 7 non è rigala , perchè altrimenti le sue rette generatrici stabilirébbero una 

 proiettività fra i punti di due coniche qualunque di essa medesima, e ciò contro l'ipotesi 

 di n^> 4. 



Inoltre, in virtù di un noto teorema di Kronecker-Castelnuovo, le coniche di 7 sono co 1 . 



b) Infine osserviamo che se (k) è un sistema irriducibile (co 1 ) di coniche di 7, esso 

 è ( 2 ) un fascio, cioè per un punto generico di 7 passa (una ed) una sola conica di (k). 



( 1 ) È noto che ogni sistema irriducibile °° 1 di coniche di 7 è un fascio. Vedi 



M. Dl£ FRANCHIS « /.e superficie irrazionali di 5 ordine fon infinite coniche' » [Rendiconti della R. 

 Accademia dei Lincei, voi. XV, serie 3'\ 1906]. 



( 2 ) Vedi la (')• 



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