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Giuseppe Mariella 



[Memoria XIV.] 



E chiaro poi che 



c) se ? possiede due o più fasci di coniche, siccome uno qualunque di questi (anzi 

 ciascuno) è, evidentemente, razionale, così (Noether) anche la superficie ~{ è razionale. 



2. D' ora in poi indicheremo con \>. la classe dell' inviluppo (x) costituito dai piani 

 contenenti coniche del fascio (k), e con 5 il numero di queste poste in uno generico dei 

 piani di (x). 



Vogliamo dimostrare che è sempre |x <C u — /. 



Infatti indichiamo con u un piano generico dello spazio ambiente. Le coniche del 

 fascio (k) segnano sulla curva (irriducibile) fio, un' involuzione I\ ; indicheremo con p, il 

 genere di questa e con p c il genere della detta curva. Proiettando da un punto generico P 

 di tu le coppie di punti coniugati di II, si ottiene nel fascio (P, ai) una corrispondenza (n,n) 

 della quale, coni' è facile comprendere , le 2u coincidenze sono: le tracce in cu dei |a 

 piani di (x) passanti per P, ciascuna contata 2s volte, le ci rette che da P proiettano i <> 

 punti doppi di II, e le h' rette, contate due volte, che da P proiettano i cY punti (distinti 

 o no) della curva y&>, in ognuno dei quali vengano a cadere (su due rami) due punti fra 

 loro coniugati della II medesima. 



Si ha dunque ( 3 ) 



2u = 2<>.s + 8 + 21', 



ove è l = 2(p a J r l) — 4pi . 



Or siccome la congruenza generata dalle tangenti delle coniche di (k) è di classe à ~H>0, 

 così possiamo asserire che in ogni caso è |i <C n ; osserviamo anziché l'ipotesi |i — « — / 

 conduce ad un assurdo. Infatti per \L=n — /, e quindi s=.J, ò" — 2, e 8 '= (9 , la detta 

 congruenza sarebbe la duale di una congruenza d'ordine o= 2, di classe 2[i, e dotata di 

 una curva irriducibile singolare d' ordine \x, mentre, per quanto è noto circa le congruenze 

 d' ordine 2, siffatta congruenza non ( 4 ) esiste, e ciò perchè è [). > 3, e le rette della con- 

 gruenza uscenti da un punto generico della detta curva singolare, devono costituire un 

 cono quadrico irriducibile. 



Concludiamo dunque che 

 /' piani di qualunque fascio di coniche (generalmente irriducibili) esistente sopra 

 una superfìcie d' ordine n > 4, costituiscono un inviluppo di classe |x <C n — 1. 



3. Nell'ipotesi che l'inviluppo (x) sia stellare, è facile dimostrare direttamente, consi- 

 derando una retta genericamente condotta per il suo punto base V, che 



n 



a) se V non appartiene alla superfìcie f, allora è \i = — <in — 2; 



n — / 



b) se Ve /-pio per 7, ma non e punto base del fascio (k), allora è [x = — — <^n — 2; 



u — l 



c) se V è /-pio per 7, con l^> 2, ed è punto base di (k), allora è |J. = <;/ — 2 ( 5 ). 



( 3 ) Compiuto il presente lavoro mi accorsi che il procedimento ora tenuto è il medesimo di quello adottato 

 dal SEGRE, nel n° 1 del classico lavoro « Recherches générales sur les courbes et les surfaces réglées 

 algèbriques » [Mathematische Annalen, Band XXXIV, 1889]. 



( 4 ) D. MONTESANO « Su due congruenze di rette di 2 ordine e di ó a classe » [Rendiconti della R. 

 Accademia dei Lincei, voi. I, serie s a , 1892]. 



( 5 ) Tutto ciò d' accordo col teorema stabilito in fine del n° precedente. Si noti che se (x) ha, oltre di V, 

 un altro punto base, allora è 



