Sulle superfìcie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 3 



d) Osserviamo, infine, che se V è punto base del fascio (k) ed è s = l, esso non 

 può essere semplice per la superficie 7, perchè ne verrebbe di conseguenza \l = u — /, e 

 ciò è (n° 2) assurdo. 



4. Superficie con infinite coniche e d'ordine qualunque si costruiscono col seguente 

 procedimento geometrico. 



Siano (tc) e (.v) due sistemi irriducibili co' , di piani il primo e di quadriche (gene- 

 ralmente irriducibili) il secondo; dicansi e v rispettivamente i loro indici. 



Supponiamo che sia stabilita fra i loro elementi una corrispondenza (p, s) ; il luogo 

 della conica comune a due elementi omologhi, è una superficie 7 con oc 1 coniche (gene- 

 ralmente irriducibili). Queste son tali che in ogni piano di (x) ne esistono 5, e ad ogni 

 quadrica di (x) ne appartengono p. 



L'ordine di 7 (irriducibile no) è // = 2\>.s - \- vp. 



Generalmente la multiplicità per 7 di un punto base soltanto per (.v) è \>.s ; la multi- 

 plicità di un punto base soltanto per (tc) è vp; la multiplicità, infine, di un punto base per 

 ambidue i sistemi (tc) e (x) è \>.s-]-vp ( 6 ). 



5. Evidentemente se (tc) e (x) sono in posizione generica fra loro, e se la corrispon- 

 denza (p, s) stabilita tra i loro elementi è generica, la superficie 7 (n° 4) è irriducibile. Ma 

 nell'ipotesi contraria da 7 potranno staccarsi uno o più piani, rimanendo una superficie 7', 

 con infinite coniche, d'ordine ri <C.n. 



Viceversa vogliamo ora dimostrare che ogni superficie 7' con infinite coniche, è sem- 

 pre generabile, in certo qual modo, come si disse nel n° 4, insieme però con un certo 

 numero di piani. 



Infatti si dica {le) un fascio (n° 1, b) di coniche di 7', e queste sian tali che ad s ad 5 

 appartengono ai piani di un sistema (tc) d' indice [a. Scelto un punto generico A dello 

 spazio ambiente, si proiettino da A le coniche di (k)\ si otterrà un sistema (x) co 1 di 

 coni quadrici. Indicando con ri l'ordine di 7', il sistema (x) è d'indice v = u\ perchè una 

 retta genericamente condotta per A, seca 7' in //' punti per ognuno dei quali passa una 

 (sola) conica di (k), la quale proiettata da A dà un cono di (x). 



Inoltre dicendo corrispondenti un piano di (tc) e un cono di [x) ogni qual volta ab- 

 biano in comune una conica di (k), è chiaro che fra gli elementi di (tc) e quelli di (x) 

 esiste una corrispondenza (/, s). Infine se tc, è uno dei \>. piani di (tc) passanti per A, ogni 

 suo cono corrispondente coincide con tc, stesso contato due volte. Dunque il luogo della 

 conica comune a due elementi omologhi di (tc) e (x), è costituito da 7' e dai [J. piani di (tc) 

 passanti per A ( 7 ). 



Concludiamo quindi che 

 ogni superficie con infinite coniche pub essere considerala conte il luogo della 

 curva comune a due elementi corrispondenti in due sistemi co 1 , uno di piani e 

 uno di coni quadrici aventi, questi, uno stesso vertice, a prescindere da un certo 

 numero di piani passanti per questo medesimo punto. 



( c ') Se il sistema {x) è, in generale, un sistema di superfìcie d'ordine m, allora "( risulta dotata di « 1 

 curve piane d'ordine ni. Essa sarà d'ordine n = m\>.s -\-vfi, e le sue multiplicità nei punti base di (tz) di (.v). 

 dei punti base per ambidue questi sistemi, saranno quelle stesse dette nel testo. 



( 7 ) Ciò d'accordo col fatto che la superficie 7, luogo di detta conica, è (n° 4) d'ordine u = 2\>-s ■ + 11, e 

 ognuno dei "d piani di (tc) passanti per A è da contare ss volte. 



