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Giuseppe Marletta 



| Memoria XIV.] 



5. Sia j). — /, cioè supponiamo che l'inviluppo (%), costituito dai piani delle coniche 

 di (k), sia un fascio; indicheremo con r l'asse di questo. 



Se diciamo p la multiplicità di r per 7, questa superfìcie è evidentemente dì ordine 



n = 2s-]-^ 



Cominciamo a considerare l'ipotesi per la quale non esista alcun punto fisso (della 

 retta r) comune a tutte le coniche di (k). Allora in ogni piano ~ esisteranno 4 i^l = 2s(s — /) 



punti (distinti no) ognuno comune a due delle 5 coniche lungo le quali % seca ulterior- 

 mente 7. Questi punti sono evidentemente doppi per questa superficie. 

 Viceversa 



ogni superfìcie irriducibile 7 d'ordine n = 2s-j-p avente una velia r p-pla, e tale 

 che la sua ulteriore intersezione con un piano genericamente condotto per questa 

 abbia 2s (s — 1) punti doppi (distinti no), possiede un [ascio di coniche (general- 

 mente irriducibili) siluette, ad s ad s, nei piani passanti per r. 



Infatti giacché 7 è, per ipotesi, irriducibile, la curva g ulteriore intersezione di questa 

 superficie con un piano % genericamente condotto per r , si deve spezzare in un certo 

 numero y di curve, tutte irriducibili, formanti uno stesso sistema algebrico (irriducibile), è 

 quindi aventi tutte uno stesso ordine x. Ciò posto dimostreremo che condizione necessaria 

 (ed evidentemente sufficiente) affinchè sia 2s{s — /) il numero dei punti doppi di g, è che 

 sia x = 2 , cioè che g si spezzi in s coniche. 



E invero per x — 1 la g sarebbe composta di 2s rette, e quindi essa avrebbe 



punti doppi, cioè un numero maggiore di 2s (s — 1). 



Neil' ipotesi, poi, di x > 2, e che ciascuna delle componenti irriducibili di g avesse il 

 massimo numero possibile di punti doppi (distinti no), la curva g avrebbe 



punti doppi, e questo numero è minore di 2s{s — /). 



Possiamo dunque concludere che effettivamente la curva g si spezza in s coniche 

 irriducibili. 



Si osservi che dalla fatta dimostrazione si deduce che se la curva g ha 2s (s — 1) 

 (e non più) punti doppi ognuno non infinitamente vicino ad r, allora 7 o possiede infinite 

 coniche irriducibili, ad s ad s nei piani per r, ovvero è rigata, e in tal caso siccome g 

 possiede s punti doppi in r, così ad ogni punto di questa retta sono infinitamente vicine 

 una più rette doppie infinitesime di 7 ( 8 ). 



7. Esistono certamente (n° 4) superficie 7 come quella del n" precedente; anzi sap- 

 piamo costruire (n° 5) qualunque siffatta superfìcie 7. 



P. es. nel n° 4 si ponga s = 3, v — 2, p — t (e \i = J)* otterremo una superfìcie 7 

 d'ordine 11 = 8, avente una retta r doppia, e tale che ogni piano passante per questa seca 

 ulteriormente 7 in tre coniche. Viceversa, ogni superficie irriducibile d'ordine 11 = 8, con 

 una retta doppia, e tale che un piano genericamente condotto per questa la sechi ulterior- 

 mente in una curva con 12 punti doppi (distinti o no), possiede (n° 6) un fascio di co- 



( 8 ) Si pensi, p. es., alla rigata gobba d'ordine 11=4, 6 a specie di CREMONA e 5 a specie di CAYLEY ; 

 essa è tale che una sua sezione piana generica ha un tacnodo nella retta direttrice doppia. 



