Sulle superfìcie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 5 



niche irriducibili, e precisamente in ogni piano condotto per la retta doppia esistono tre 

 coniche della superficie. 



8. Supponiamo ora (n° 6) che il fascio (k), delle coniche di 7 complanari con /', abbia 

 un punto base A (di r). 



La superfìcie 7 è dunque d'un certo ordine n=2s-\-p, con r p-pla, e avente come 

 (s -\- p)-plo il punto A. Ne segue che due qualunque coniche di (le) poste in uno stesso 

 piano del fascio (x), hanno soltanto tre punti variabili comuni, onde, oltre di A, in ogni 



piano x esisteranno 3 ^ J punti (distinti o no) ognuno comune a due delle 5 coniche lungo 



le quali x seca ulteriormente 7. Questi punti sono evidentemente doppi per questa su- 

 perfìcie. 



ogni superfìcie irriducibile 7 ci' ordine n = 2s-j-p, con rei la r p-pla e un punto A 

 (s-j-p)-/>/o in questa, tale che la sua ulteriore intersezione con un piano generi- 



un fascio di coniche (general niente irriducibili) situate, ad s ad s, nei piani con- 

 dotti per r, e tutte passanti per il punto A. 



Questo teorema si dimostra in modo perfettamente analogo a quello del n° 6, tenendo 

 conto che le y componenti irriducibili della curva g , devono avere tutte la stessa multi- 

 plicità nel punto A, e ciò perchè esse devono formare uno stesso sistema algebrico (irri- 

 ducibile). 



9. P. es. nel n° 4 supponiamo che (x) sia un sistema (co 1 irriducibile) d'indice v = 3 

 di quadriche tutte passanti per una cubica oobba c. La retta r, asse del fascio (x), incontri 

 in un certo punto A la curva c. 



Stabilita fra gli elementi di (x) e quelli di (x) una corrispondenza (1, 2), cioè (n° 4) 

 posto s = 2 e p — 1, la superficie 7 è (n° 4) d'ordine n—7, ha come doppia la cubica c, 

 come tripla la retta r; inoltre per essa il punto A è quintuplo. Ogni piano condotto per r 

 seca ulteriormente 7 in due coniche, generalmente irriducibili, passanti per A ; queste ge- 

 nerano quindi, al variare del piano, un fascio avente lo slesso genere di (x) , e quindi 

 razionale ellittico. Viceversa ogni superficie irriducibile d' ordine n = 7, con retta r tripla 

 e un punto A quintuplo (in questa), tale, inoltre, che la quartica ulteriore intersezione di 

 essa con un piano genericamente condotto per r, abbia, oltre di A, tre punti doppi, pos- 

 siede (n° 8) un fascio di coniche irriducibili situate, a due a due, nei piani condotti per r, 

 e tutte passanti per il punto A. 



In particolare la cubica 6" potrebbe spezzarsi in tre rette d v d%, ih, (non complanari) 

 passanti per uno stesso punto O, che sarà quadruplo per 7. In tal caso, supposto che il 

 punto A appartenga a <? t , può stabilirsi che uno dei due coni di (x) corrispondenti al 

 piano rd^ di (x), si spezzi in questo stesso piano e nel piano d z d 3 . Ne segue che da 7 si 

 stacca il detto piano rd { , e rimane una superficie 7' d'ordine n'=6, per la quale d-> e d. 

 son doppie, d i è semplice, r è doppia, il punto è triplo e il punto A è quadruplo. 



10. Supponiamo, infine, che il fascio (k) abbia due punti base A e B (di r) ( 9 ). 



(*) Si ottiene una superficie siffatta supponendo, p. es., che nel n° 4 il sistema (x) abbia due punti 

 base Ann sulla retta r asse del fascio (x). 



Vi 



iceversa 



punti doppi (distinti no), possiede 



