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Giuseppe Mariella 



[Memoria XIV.] 



La superficie 7 è d' un certo ordine // = 2s-\-p, con /' p-pla, e A e B (s -j-p)-pli. Ne 

 segue che due qualunque coniche di (k) poste in uno stesso piano condotto per r, hanno 

 soltanto due punti variabili comuni, punti che sono doppi per 7. 



Viceversa 



ogni superficie irriducibile 7 d'ordine n = 2s-j-p con reità r p -pia, e due punii A e 

 B (s-|-p)-/>// in questa, tale che la sua ulteriore intersezione con un piano generi- 

 camente condotto per r abbia, olire di A e B, s (s — \) punti doppi (distinti no), 

 possiede un fascio di coniche (generalmente irriducibili) tutte passanti per A e B, 

 e, ad s ad s, situate nei piani condotti per r. 



La dimostrazione di questo teorema è perfettamente analoga a quella data nel n. 6, 

 tenendo conto che le y componenti irriducibili della curva g, devono tutte avere la stessa 

 multiplicità in ciascuno dei punti A e B , e ciò perchè esse devono formare uno stesso 

 sistema algebrico (irriducibile). 



11. Applichiamo, p. es., la costruzione del n° 4 supponendo che (rc) sia un fascio di 

 asse e Lr) un sistema (irriducibile e oo 1 ) d' indice v di coni quadrici, di vertice V, tutti 

 passanti per due punti A e B di r ; che ammetta, inoltre, il piano Vr, contato due volte, 

 come cono 5- pio, e, infine, che sia dotato di una g\ avente il cono 2Vr come elemento 

 5-plo. Si stabilisca ora una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di {%) e quelli della 

 detta serie gl, in modo che al piano Vr di (%) corrisponda il gruppo di gl costituito dal 

 cono 2Vr contato 5 volte. 



11 luogo della curva comune a due elementi corrispondenti è (n° 4) una superfìcie 7 

 d'ordine u = 2s-\-v, avente la retta /' v-pla, i punti A e B (s-f-v)-pli, le rette VA e VB 

 5-ple, e il punto V 2s-p\o. Ma da 7 si stacca il piano Vr contato 2s volte, quindi rimane 

 una superficie 7' d'ordine n =■ v, avente ( 10 ) la retta r (v— 2s)-p\i\, i punti A e B (v— s>plì, 

 e non passante per V (e quindi nemmeno per VA e VB). Ogni piano ~ condotto per r 

 seca "1' in 5 coniche tutte passanti per A e B, onde la curva ulteriore intersezione di 7 

 con ~, possiede, oltre di A e B, s(s—-i) punti doppi (distinti no). 



Viceversa ogni superficie 7' siffatta, cioè d'ordine li = v, avente /' (v — 2s)-p\a, A e B 

 (v — s)-pli. e tale che un piano genericamente condotto per r la sechi, ulteriormente, in una 

 curva che abbia, oltre di 4 e fi, s(s — I) punti doppi, possiede (n° 10) un fascio di coniche 

 (generalmente irriducibili) tutte passanti per A e B, e, ad 5 ad s, situate nei piani con- 

 dotti per la retta r ( n ). Essa quindi si può (n° 5) costruire come poco sopra si è detto. 



In particolare per v — 5 ed s = 2, 7' è una superficie d'ordine n — 5, avente la retta r 

 semplice, tripli i punti A e B di questa, e dotata di un fascio (k) di coniche (generalmente 

 irriducibili) tutte passanti per A e B, e situate, a due a due, nei piani condotti per r. In 

 ogni piano, dunque, passante per questa retta, esistono due punti variabili doppi per 7'; 

 supponendo questi infinitamente vicini o no, sia tra loro sia ad A e B, punti che alla loro 

 volta possono essere infinitamente vicini o no, si ottengono superficie note ( i2 ). 



Si noti che (x) e (k) hanno lo stesso genere p, ■; inoltre siccome (x) è dotato di 

 di elemento doppio (ed è v = 5) è p, < 3. 



('") Si noti che se è 25 > v la retta r non appartiene a 7'. 



( u ) Dunque ogni superficie 7' siffatta è generabile come è detto nel n° 5. 



BERRY, On certain Qiiintic Surfaees which admit of Integrate of the First Kind of Total Dìffe- 

 rentiate [Cambridge Philosophical Transactions, t. XIV e XX] ; e DE FRANCH1S, 1. c. in (').' 



