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12. Consideriamo ora l'ipotesi che le coniche di (k) appartengano alle quadriche di 

 un fascio (.v), essendovene p in ognuna di queste; indicheremo con / la quartica base di (x). 



Se diciamo cp la multiplicità di / per "(, questa superfìcie è evidentemente d' ordine 

 n — 2y4- p. 



Cominciamo ad esaminare l' ipotesi per la quale non esista alcun punto fìsso (della 

 quartica f) comune a tutte le coniche di (k). Allora in ogni quadrica x esisteranno 



2 ( p ) = P (p — 1) punti (distinti o no) ciascuno comune a due delle p coniche lungo le 



quali x seca ulteriormente f. Questi punti sono evidentemente doppi per questa superficie. 

 Viceversa 



ogni superficie irriducibile { d'ordine n = 2cp — |— p / avente come y-pla una quartica 

 gobba di / a specie f, e tale che la curva sua ulteriore sezione con una generica 

 quadrica passante per f, abbia p(p - l) punti doppi, possiede un fascio di coniche 

 (generalmente irriducibili) situate a p a p, nelle quadriche passanti per f. 



Infatti una quadrica x condotta genericamente per f, seca f in una curva d'ordine 

 2(2<f~\-p), la quale è composta della quartica / contata cp volte, e di una curva residua 

 d' ordine 2p. Che questa, poi, sia costituita da p coniche, irriducibili, si dimostra mediante 

 la rappresentazione piana di x, e con ragionamenti analoghi a quelli del n° 10 ( 13 ). 



13. Applichiamo, p. es., la costruzione del n° 4 supponendo che (.v) sia un fascio 

 avente per curva base una quartica f , e (ti) sia un sistema (irriducibile e oo 1 ) d' indice 

 u. — 2', supponiamo inoltre che fra gli elementi di (x) e quelli di (tc) sia stabilita una cor- 

 rispondenza biunivoca. La superfìcie 7 risulta d'ordine n = 5, ha come doppia la quartica f, 

 e contiene un fascio di coniche tali che in ogni quadrica passante per questa ne esiste 

 una sola. 



Si ponga (n° 4) ora jj. = 2, s — /, p — 2. La superfìcie 7 è d'ordine // = 6, ha come 

 doppia la quartica gobba f, e contiene un fascio di coniche tali che in ogni quadrica pas- 

 sante per questa ne esistono due. 



14. Si applichi la costruzione del n° 4 nell' ipotesi di v — /, supponendo inoltre che 

 esista un punto base A di (~) posto nella quartica / base del fascio (x). Allora tutte le 

 coniche del fascio (le) passeranno per A, punto che ha (n° 4) la multiplicità [xs -\-p per la 

 superficie "f. 



P. es. si faccia \i=.2, s — /, p = l\ "(è una superfìcie d'ordine 11 = 5, ha come 

 doppia la quartica f, e come triplo il punto A di questa ( u ). 



15. Si osservi che ogni superficie "f d'ordine 11 — 2y-\-p avente come cp-pla una quar- 

 tica gobba di l a specie, e tale che una quadrica genericamente condotta per questa la 

 sechi ulteriormente in una curva dotata di p (p — l) punti doppi, onde essa superficie pos- 

 siede (n° 12) un fascio (k) di coniche generalmente irriducibili, è generabile come si disse 

 nel n° 5, sostituendo al sistema (x) di coni quadrici il fascio delle quadriche passanti per 

 la quartica f. Anzi se non esiste alcuna di queste spezzata in due piani, 7 sarà il luogo 



( 13 ) Si noti che qualunque retta di x è corda di f, e quindi incontra ulteriormente f in p punti. 



( 14 ) Per f spezzata in una cubica (gobba) irriducibile e in una corda di questa, si ottiene una superficie 

 nota. Vedi 



G. APRILE, Sulla varietà, dell' S4, del qua) lo ordine con rigala cubica normale doppia [Atti dell' Ac- 

 cademia Gioenia, Catania, serie 5*, voi. VII] n° 36. 



