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Giuseppe Mar/ella 



[Memoria XIV. 1. 



totale della conica comune a due elementi corrispondenti, uno del fascio (x) di base f, e 

 l'altro dell'inviluppo (tu) costituito dai piani delle coniche di (k). 



16. Un caso particolare notevole di quello del n° Ili si ottiene ponendo jj. = /, cioè 

 supponendo che i piani delle coniche di (k) formino pure un fascio (il cui asse r non sia 

 parte della quartica f). 



Che effettivamente esista una superfìcie 7 nelle attuali ipotesi, segue dalla costruzione 

 del n° 4 ponendo \>. = v = /. 



Anzi, più in generale, possiamo supporre che (x) sia un generico fascio di superficie 

 d'ordine 111 >. 2, aventi tutte come (m — i?)-pla una certa retta /', e che sia stabilita una 

 corrispondenza (p,s) fra i piani del fascio (%) di asse r e le superficie di (x). 



Un qualunque piano di (n) seca ulteriormente ognuna delle sue 5 superfìcie corrispon- 

 denti, in una conica, il cui luogo, al variare del piano, è una superfìcie 7 (irriducibile o no) 

 d'ordine n = ms-\-p, per la quale è (/// — 2)s -\-p la multiplicità di r, ed è s la multi- 

 plicità della curva /', d'ordine 4 [m — /), la quale insieme con r contata (/// — 2f volte, co- 

 stituisce la base di (.v). 



Se la eorrispondenz.i stabilita fra i piani di (~) e le superficie di (x) è generica, il fa- 

 scio (/<.') delle coniche ognuna comune a due elementi omologhi, è di genere p t = ps — 

 -p-s + I. 



P. es., per m — 3, p = s = 2, la superfìcie 7 risulta d'ordine n=8, con r qua- 

 drupla ; il fascio (k) risulta (generalmente) ellittico ( 15 ). 



17. Viceversa vogliamo dimostrare che 



se una superficie irriducibile 7 d'ordine n = ms -|- p, ha come curve multiple sol- 

 tanto una retta r [ (m — 2) s -j- p \pla, e come s-pla una curva f t d'ordine 4(m — 1), 

 die insieme con r, contata (m — '2f volte , costituisca la base di un fascio di su- 

 perficie (x) d'ordine m con r (m — 2) -pia ( 16 ), allora essa superficie possiede infinite 

 coniche (generalmente irriducibili) tali che in qualunque piano passante per r ne 

 esistono s tutte appartenenti ad un fascio, e in ognuna delle superficie sopradelte 

 ne esistono p (' ')• Inoltre 7 è sempre costruibile come il luogo della curva comune 

 a due elementi omologhi in due fasci, uno di piani e /' altro di superficie d' ordine 

 m con r (m — f)-pla, fra i cui elementi esista una corrispondenza (p, s). 



Infatti un piano :c condotto genericamente per /', seca ulteriormente 7 in una curva 

 d' ordine 2s, la quale ha come s-pli i quattro punti %f non appartenenti ad r. Ne segue 

 senz' altro che la detta curva si spezza in 5 coniche di un fascio. 



Che poi la superfìcie 7 si possa costruire come si è detto , vieti dimostrato dal se- 

 guente ragionamento. 



Sia M un punto di una c delle s coniche che 7 ha in % ; per M passa una (sola) 

 superficie del fascio (.r), superficie che è ulteriormente secata da! piano x in una conica, 

 e questa, dovendo passare per M e pei quattro punti %f non appartenenti ad r, coincide 

 con c- Dunque a ic possiamo far corrispondere le s superficie di (x) passanti per le s 

 coniche di 7 in esso poste. 



( 15 ) Per interessanti superficie irrazionali d' ordine 6, 7, 8, dotate di infinite coniche, vedi il lavoro di 

 G. SCORZA, Le superficie a curve sezioni di genere ,'. [Annali di Matematica, serie 3 a , tomi XVI e XVII., 

 Milano]- 



( 16 ) e per m = 2 come (p '+ s)-pli gli eventuali punti comuni ad r ed f. 

 ( n ) tutte aventi, per m — 2, due punti (di r) comuni. 



