Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 9 



Viceversa data una superfìcie .r di (x) , essa seca la superfìcie 7, fuori di /' ed /', in 

 una curva / d' ordine 2p ; ebbene questa si spezza in p coniche ognuna complanare con 

 r. Infatti sia N un suo punto qualunque ; il piano %' = Nr seca 7 in 5 coniche una delle 

 quali, sia c', passa per N e pei quattro punti, fuori di %'f. Ma ir.' seca ulteriormente x 

 in una conica, sia c" , anch' essa passante per N e per questi quattro punti, dunque le 

 dette due coniche c e c" coincidono, cioè la conica e di 7 coincide con la conica c" di x, 

 onde e fa parte della curva ~\x, e quindi della curva /. Ecco dunque che / è composta 

 di p coniche ognuna complanare con r, e di conseguenza alla superficie x corrispondono 

 p piani del fascio (ic) di asse r. 



Possiamo dunque concludere che la superficie 7 si può generare ( i8 ) stabilendo una 

 corrispondenza (p, s) fra gli elementi dei fasci (~) e {x). 



18. Si ponga m=s = 2 e p~l; la superficie 7 è d'ordine n = 5, ha una retta r 

 semplice, una quartica gobba di l a specie /' doppia, ed è ulteriormente secata in coppie 

 di coniche dai piani passanti per /' ( ly ). 



Sia m = s = p = 2; 7 è d'ordine n = 6, ha come doppie la retta r e la quartica f. 

 Ogni piano passante per r seca ulteriormente 7 in due coniche, le quali generano, al va- 

 riare del piano, un fascio (k) ; questo è ellittico se la corrispondenza (2,2), esistente fra 

 (le) e (x), è generica. 



Sia 5 = 3 e p = 1 ; la superficie 7 è d' ordine 11 = 7, ha una retta r semplice, una 

 quartica gobba di l !l specie / tripla, ed è ulteriormente secata in tre coniche di uno stesso 

 fascio da ogni piano passante per r. 



19. Supponiamo ora che esista un ( 20 ) punto A della quartica f (n° 12), comune a 

 tutte le coniche di (k). 



Se, ancora, 7 è d'ordine n=2y-\-p, con / cp -pia e p coniche (variabili) di (k) in 

 ogni quadrica del fascio (x), il punto A è evidentemente (<p— j— />)-plo per 7 : inoltre in ogni 



quadrica di (x) esistono punti variabili doppi per questa superficie. 



Viceversa è facile dimostrare, analogamente a come si fece nel n° 12, che 

 ogni superficie irriducibile 7 d'ordine n = 2<p-f~P> avente come cp -pia una quartica 

 gobba di i a specie f, come (cp -J- p)-plo un punto A di questa, e tale che ogni qua- 



( 18 J Più in generale supponendo che (x) sia un generico fascio di superfìcie d'ordine m con la retta r 

 /-pia, si ottiene una superficie 7 d' ordine ms-\-p , dotata di un fascio (A) di curve piane d'ordine m— /, 

 situate ad s ad ; nei piani di un fascio (~), con la retta r, asse di questo, multipla secondo 1s-\-p, e avente 

 come .f-pla la curva/, d'ordine m 2 — / 2 . la quale, insieme con r contata fi volte, costituisce la base di (.r). 



Se la corrispondenza stabilita fra i piani di (ir) e le superficie di (x) è generica, il fascio (k) è di gene- 

 re pi — ps — p — s -f- 1 . 



Viceversa, con ragionamenti come quelli di questo n° 17 del testo, si dimostra un teorema analogo a 

 quello stabilito in questo stesso n". 



P. es. si ponga m~j, .s = 2, p— z, t—o; la superficie 7 è d'ordine " = 7, ha una retta / semplice, 

 come doppia la curva / base di un fascio di superficie cubiche, ed è ulteriormente secata in due cubiche da 

 ogni piano passante per 



C") Nel caso particolare di / spezzata in una cubica (gobba) e in una corda di questa, e nell'ipotesi che 

 la retta r sia anch'essa corda di questa cubica, si ottiene una superficie nota. Vedi 

 G. APRILE, 1. c. in C 3 ), n° 52. 



C 20 ) Se esistessero due punti ambidue comuni a tutte le coniche di (k) , allora (ir) sarebbe un fascio, e ciò 

 fu (n° 10) oggetto di studio. 



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