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Giuseppe Mariella 



IMemohia XIV.] 



drica genericamente passante per f, la sechi ulteriormente in una curva dotata, 

 oltre che di A, di punii doppi, possiede un fascio di coniche (generalmente ir- 

 riducibili) tutte passanti per A, e situate a p a p nelle quadriche contenenti f. 



20. Applichiamo la costruzione del n° 4 supponendo, in particolare, che (x) sia un 

 fascio di coni (quadrici); indichiamo con l u 1. 2 , l 3 , li le quattro rette costituenti la base 

 di (x), e con O il punto a queste comune. Supponiamo ancora che il sistema (n), dei piani 

 delle coniche di (k), abbia un punto base V non posto in alcuna di queste quattro rette. 



Giacché è v = /, la superficie ■( è (n° 4) d'ordine n = 2\i.s-\-p; ha |AS-ple le rette 

 h, lo, l-ì, Iti ; p-plo il punto V, e 2\>.s-plo il punto O. 



Facciamo ora l'ipotesi che V appartenga ad / t , onde (n° 4) V è f\>.s pJ-p\o per 7, 

 e ammettiamo ancora che nella corrispondenza (p, s), che per ipotesi esiste fra gli ele- 

 menti dei sistemi (ti) e (x), i tre piani /, l t , /, / 2 , / 4 /a appartengano a (tc) e facciano parte 

 di loro coni corrispondenti in (x). Allora 7 si spezza nei detti tre piani e in una superfi- 

 cie 7' (n° 5) d'ordine n =■ 2\s.s -j- p — 3, la quale ha: (\xs — /j-ple le rette ^, / 2 , / 3 ," 

 ([15 — 3)-pla la retta / 4 ; (5jas — 3>plo il punto O, e (|xs -)- j& — 3)-plo il punto V. 



Un qualunque cono quadrico di (x) seca 7' nelle rette l r li, / 3 , ciascuna contata jj.5 — / 

 volte, nella /, contata |xs — 3 volte, e nelle p coniche sezioni di esso cono coi suoi p 

 piani corrispondenti in (tc). Or giacché dei due punti comuni a due qualunque di queste 

 coniche, uno evidentemente è sempre V , così possiamo concludere che ogni cono di (x) 



21. Viceversa 



ogni superficie irriducibile 7' d 'ordine n' - 2\i s-\-p—3 avente quattro rette l a l v l„ / 4 

 costil tieni i la base di un fascio di coni quadrici (irriducibili), di niultiplicità |A5 — 1 

 le prime tre, e \is — 3 /' ultima; con un punto V(\xs -j- p — 3)-plo in questa mede- 

 sima retta, e tale, inoltre, che ogni cono del sopradetto fascio la sechi ulterior- 

 mente in una curva dotata, oltre di V, di {%) punti doppi, possiede un fascio di 



coniche [generalmente irriducibili), ed è generabile come la superfìcie omonima del 

 n° precedente. 



Infatti ogni cono quadrico x passante per l L , / 2 , / 3 e / 4 = OV, seca ulteriormente 7' in 

 una curva d' ordine 2p con un punto />-plo in V, curva la quale essendo, per ipotesi, 



dotata ancora di ( K\ punti doppi, si spezza in p coniche; ecco dunque che su 7' esiste 



un fascio (k) di coniche generalmente irriducibili. Inoltre ad ogni cono x si facciano cor- 

 rispondere i piani delle p coniche di (k) in esso contenute ; si otterrà in tal modo fra i 

 piani delle coniche di (k) e i coni quadrici di (x), una certa corrispondenza (p, s). 



Consideriamo, in particolare, il cono x\ composto dei due piani / ( l 4 e / 2 / 3 ; questi 

 secano ulteriormente 7' in due curve d'ordine p -j- / e p — / rispettivamente, le quali 



devono avere complessivamente (almeno) ( ^ J punti doppi, oltre di V che è p-\Ao per la prima. 



Ne segue che di ciascuna di esse curve fan parte p — 1 rette, onde la prima sarà com- 

 posta di una conica passante per V e di p — / rette condotte per questo medesimo punto. 

 Dunque il piano 1 { l 4 fa parte di uno, x i} dei suoi coni corrispondenti. Si deduce , ripe- 

 tendo considerazioni analoghe per i piani / 2 h e h / 4 , che nella corrispondenza (p, s) so- 



contiene 



punti variabili doppi per 7'. 



