Sulle superfìcie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 1 1 



pra detta esistono tre piani, di coniche di (k) , ognuno dei quali è parte di uno dei suoi 

 coni quadrici corrispondenti, cioè f' si può costruire coinè nel n° precedente ( 21 ). 



22. Si noti, in particolare, che per p = 2 è (Pj=l } onde f' può essere dotata, an- 

 cora, di una curva doppia d'ordine |ìs — / — - p, (indicando con p, il genere di {k) J, cur- 

 va tale da essere incontrata in un sol punto variabile da ogni cono di (x). Se è p, - \ls — 2, 

 Y può avere una retta doppia infinitesima infinitamente vicina al punto V. In particolare 

 per |jl = 3 ed s = J (oltre di p = 2), la superficie f', che è d'ordine ri = 5 e necessa- 

 riamente con un tacnodo in V, era nota ('"). 



23. Si applichi la costruzione del n° 4 nell' ipotesi di v — J } e precisamente suppo- 

 nendo, inoltre, che la quartica /, base del fascio (x) , sia un quadrilatero (gobbo) IJJJ V 

 Supponiamo ancora che i piani l L / 4 , l 3 l 4 , appartengano al sistema (%), e inoltre che la 

 quadrica x^l { / 4 . I., l 3 sia una delle S quadriche di (.v) corrispondenti al piano /, / 4 , e che 

 la quadrica x 2 = l z l i .l l l ì sia una delle 5 quadriche di (x) corrispondenti al piano l 3 h. 



La superficie f' (n° 5) è d'ordine n' = 2 \is -{- p — 2, ha l 2 \xs- pia, l K e / 3 Qxs — /)-p!e, 

 h (V-s — i?)-pla ; essa inoltre è tale che ogni quadrica passante per il quadrilatero / , /., /, / 4 , 

 la seca ulteriormente in p coniche, cioè in una curva dotata di p(p — /) punti doppi. 



Viceversa ogni superfìcie siffatta possiede (n° 12) infinite coniche (generalmente irri- 

 ducibili), ed è costruibile (insieme con due certi piani) come ora si è detto. 



Si ponga, p. es., \i = 3, s—1, p = 1 ; la superficie f' risulta d'ordine ri = 5; ha 

 l 2 tripla, 1 i e l 3 doppie, ed / 4 semplice ( 23 ). 



24. Si applichi la costruzione del n° 4 nell' ipotesi che (x) sia un fascio avente per 

 base una quartica / spezzata in due coniche f l e f ì (aventi due punti comuni). Inoltre il 

 piano di J\ appartenga al sistema (~) , e sia ad esso corrispondente la quadrica, di (x), 

 composta di questo stesso piano e del piano di f%. 



La superfìcie '( (n° 5) sarà d'ordine ri ' = 2\is -j- p — /, con /, [is-pla ed f L {\xs — /)-p!a ; 

 essa inoltre è tale che ogni quadrica del fascio (x) la seca ulteriormente in p coniche, le 



quali hanno, a due a due, 2 ( p J punti comuni: questi sono o tutti variabili, ovvero ( pj 



variabili e altri I ^ | fissi ( coincidenti ) , secondo che non esiste ovvero esiste un punto 



base di (x) posto nella quartica / { u ). 



Viceversa è facile dimostrare che ogni superficie siffatta possiede un fascio di coni- 

 che (generalmente irriducibili), ed è costruibile come poco sopra si è detto. 



Per \). = 2, s= /, p = 2, la superfìcie ~( è d'ordine ri = 5, con la conica f l sem- 

 plice e la f 2 doppia ; inoltre in ogni quadrica passante per f L e /', , esistono 1 ovvero 2 



Lo studio fatto nei n' 20 e 21 si può generalizzare supponendo che (x) sia d'indice v > 1, pur ap- 

 partenendo alla rete dei coni (quadrici) passanti per le tre rette /,, / 2 , / 3 . 



( 22 ) G. CASTELNUOVO, Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere j [Atti della R. 

 Accademia di Torino, 25, (1889-1890)], n" 10 in nota; 



C. H. SlSAM, Concernine; Systems of Conics Lying un Cubie Ouarlic and Quintic Sur/aces [American 

 Journal, 30, (1908)]; ed 



H. G. TOGLIATTI, Sulle Superficie algebriche, del 5 ordine, irriducibili , con un /'ascio ellittico dì coniche. 

 [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voi. XXI (1912)]. 



( 23 ) Questa superficie era nota; vedi, p. es., l'annotazione del n" 5 nel mio lavoi'o La trasformazione 

 quadratica (2, 2) fra piani [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XVII. 1903!. 



( 24 ) Se (tc) ha due punti base esso è un fascio. 



