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Giuseppe M arieti a 



(Mkmoria XIV. I 



punti doppi (variabili), secondo che il vertice del cono quadrico inviluppato da {%) , sia 

 ovvero no in f lt vertice che è rispettivamente triplo ovvero semplice per 7'. 



25. Ecco una superfìcie 7 d' ordine ;/ = 6, la quale gode della seguente elegante 

 proprietà. 



Essa superficie possiede tre (soli) fasci di coniche (generalmente irriducibili), ma i 

 piani di queste formano un unico sistema (irriducibile) ; in altri termini , esiste un invi- 

 luppo di piani (irriducibile e d'indice 3) ognuno dei quali seca 7 lungo tre coniche, una 

 per ognuno dei tre fasci di coniche esistenti sulla superficie stessa. 



Consideriamo, infatti, la superfìcie 7j dell' S 6 , le cui sezioni iperpiane sono rappre- 

 sentate dal sistema lineare | ^ 3 l23 | di cubiche, di un piano, passanti per tre punti qua- 

 lunque 1, 2 e 3 di questo; indi si riferiscano omograficamente fra loro i fasci (l), (2) e 

 (3) di rette, aventi rispettivamente i punti 1, 2 e 3 per centri. 



Tre raggi omologhi rappresentano una sezione iperpiana di 7, ; si hanno così oc 1 iper- 

 piani formanti un sistema irriducibile e d'indice 3, perchè per un punto generico P di 7 t , 

 passano, di questo sistema, soltanto gì' iperpiani contenenti rispettivamente le coniche rap- 

 presentate dalle rette IP', 2P ' , 3P' , indicando con P' X immagine di P. Ne segue che 

 esiste un piano per cui passano tutti gì' iperpiani del detto sistema , piano che non in- 

 contra "f, , perchè non esiste alcun punto comune a tutte le sezioni di 7 1 fatte con questi 

 iperpiani. 



Ebbene, proiettando dal detto piano in un S 3 la 7, , si ottiene la superficie 7 della 

 quale si parla in principio di questo n°. 



§ 2. 



26. D' ora in poi supporremo sempre che la superfìcie 7 con infinite coniche (gene- 

 ralmente irriducibili), oggetto del nostro studio, sia d' ordine n — 5. 



Indicheremo pure in questo § con jx la classe dell'inviluppo irriducibile (it) costituito 

 dai piani delle coniche di un fascio (k) di coniche posseduto da 7; con s il numero di 

 queste esistenti in un piano generico di (%). 



Da quanto si concluse nel n° 2, segue che è jj. <C 3: del resto, nell'ipotesi che non 

 esista alcun punto comune a tutti i piani di (x), possiamo di ciò dare quest' altra dimo- 

 strazione. 



Se fosse |i > 4, ovvero se per |i = 4 {%) fosse la figura duale di una quartica gob- 

 ba razionale, esisterebbero co 1 rette ciascuna comune a tre piani di (ti). Sia r una di que- 

 ste rette ; in ognuno dei tre piani di (%) passanti per essa, esiste una conica di (k), e sic- 

 come, per l'ipotesi fatta, non esiste alcun punto per cui passino tutte le coniche di [k) , 

 così ogni punto comune a due a tutte e tre le coniche di (k) complanari con r, è dop- 

 pio o rispettivamente triplo per 7. In ogni caso r, avendo con questa superficie 6^> 5 

 punti comuni, apparterrebbe ad essa, ciò che è assurdo perchè (n° 1, a) 7 non è rigata. 



Se poi (%) fosse la figura duale di una quartica gobba ellittica, esisterebbero quattro 

 piani in ognuno dei quali sarebbe un inviluppo di rette di 2 a classe, tale che ogni sua 

 retta apparterrebbe a due piani di (it). Ne segue che ad una qualunque retta t di questo 

 inviluppo, si potrebbe far corrispondere il punto (unico) comune ad essa e a 7, non posto 

 in alcuna delle due coniche di (k) complanari con t. A questo punto si farebbe corrispon- 



