Sulle superficie algebriche con infittite coniche, e, in particolare, ecc. 13 



dere 1' unica conica ( a5 ) di (k) passante per esso ; onde a / si potrebbe far corrispondere 

 il piano di questa conica, ciò che è assurdo perchè (%) non è razionale. 



27. Sia |x = 3 e (rc) gobbo; dico che la superficie '( e a sezioni piane ellittiche. 



A tal fine si osservi che uno generico iz l dei piani di (it), seca f in una conica k\ 

 di (k), e in una cubica irriducibile. Dei sei punti comuni a queste due curve , due sono 

 ( 26 ) di contatto per ir, con f, mentre gii altri quattro sono doppi per questa superficie. 

 Ora se la detta cubica fosse ellittica, allora le coppie di punti coniugati nella g\ che in 

 essa determinano le coniche di (k), giacerebbero in rette uscenti da uno stesso punto del- 

 la cubica medesima, onde anche i piani di (it) passerebbero per questo stesso punto, ciò 

 che è assurdo perchè (x) è per ipotesi gobbo. 



Concludiamo dunque che in x t esistono cinque punti che sono doppi (- 7 ) per la su- 

 perficie "f, la quale è quindi a sezioni piane ellittiche, e perciò rappresentabile sul piano 

 in modo che queste abbiano per immagini le cubiche di un sistema lineare co 3 dotato di 

 quattro punti base. 



28. Consideriamo la superfìcie y, dell' S- rappresentata dal sistema lineare di cubiche 

 1^1234 1, essendo 1, 2, 3 e 4 in posizione generica. 



Essa possiede cinque fasci di coniche, che indicheremo rispettivamente con (1), (2) , 

 (3), (4), (5), rappresentati dai fasci j X} |, | X.> j, \ \\ |, | \\ |, |X? 234 |, 



Sia oì ì uno generico dei piani trisecanti Y n e indichiamo con A, B, C le immagini 

 dei tre punti o> 4 f l . Osserviamo che affinchè (o i incontri il piano di una conica del fascio 

 (1), occorre e basta che questa conica e i tre punti <i\ f t appartengano ad uno stesso iper- 

 piano, cioè i tre punti A, B, C e la retta (uscente dal punto 1 ) immagine di detta co- 

 nica, appartengano ad una stessa X? 234 . Ora ciò è impossibile se questa retta non passa 

 per alcuno dei punti A, B, C, perchè questi e i punti 2, 3, 4 non giacciono in una stes- 

 sa conica. Dunque le immagini delle sezioni iperpiane, ognuna passante per una conica 

 del fascio (1) e pei tre punti oì l Yi , sono X\ A X|j 4BC , ~K\ B Xf 34AO , X} c X|, 4AB . Ne segue che è 3 

 V ordine della varietà generata dagli oo 1 piani delle coniche di detto fascio. 



Proiettando ora Yi> in un S 3 , da una retta generica dell' S 5 , otteniamo 

 una superficie ~\ (di Caporali) d'ordine n=5, dotata di cinque fasci di coniche ; i 

 piani di ognuno di questi costituiscono un inviluppo gobbo di classe \x = 3. 



( 25 ) Questa conica non può essere fissa al variare di / ; infatti se di essa facesse parte una retta / non 

 appartenente all' inviluppo, allora per un punto qualunque di questa passerebbero 5 piani di (%) , ciò che è 

 assurdo. Se invece / appartenesse all'inviluppo, allora essa sarebbe complanare con un'altra conica di (k), 

 onde in / esisterebbero due (almeno) punti doppi di y. Per ognuno di questi passerebbe un'altra retta del- 

 l' inviluppo, la quale, incontrando ~( in 6 punti, apparterrebbe a f, e ciò conduce immediatamente all'assurdo. 



Al medesimo risultato si perviene come segue. 



Sia, dunque, (it) la figura duale di una quartica gobba ellittica. Ragionando come nel n° 2 si ha : 

 io — 2. 4 + 3 -|- 2 V, cioè 2—p c -\-ì>', ove p, : è il genere della sezione piana generica di y, quest'ultima 

 eguaglianza è assurda, perchè essendo ]f non rigata e irrazionale, è (ENRIQUES-CASTELNUOVO) p c > 2. 



( 26 ) Essi, precisamente, sono quei due punti, fra i sei ora detti, coniugati nella g 1 ^ che le coniche di (X-) 

 segnano sulla cubica di ( esistente in tt ( . 



( 21 ) Il punto doppio della cubica non può essere semplice per f, perchè in tal caso la conica di {k) pas- 

 sante per esso, sarebbe tangente a it; in esso punto medesimo. Ne segue che in questo punto cadrebbero due 

 punti coniugati nella .^' 2 della quale si è parlato poco sopra nel testo, e quindi anche ora le coppie di que- 

 sta g l 2 giacerebbero in rette uscenti da uno stesso punto della cubica. 



Per altra dimostrazione vedi ( 40 ). 



