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Giuseppe Mariella 



| Memoria XIV-1 



Che questo inviluppo sia gobbo segue dall' osservare che esso non possiede alcun 

 piano doppio, perchè dei punti 1, 2, 3, 4 tre qualunque non sono collineari ( 28 ). 



29. In particolare se i punti 2, 3, 4 sono collineari, allora tutte le coniche del fascio 

 (1) passano per il punto doppio di Tfi avente per immagine la retta (fondamentale) ìJ iM . 

 Ne segue, supponendo anche ora generica la retta centro di proiezione, che la superfìcie 7 

 possiede un punto doppio, per cui passano tutte le coniche di uno dei suoi fasci di coniche , 

 i piani delle coniche di qualunque dei rimanenti fasci, costituiscono un inviluppo gobbo. 



30. Consideriamo ancora la superfìcie 7 proiezione della superfìcie 7, di S 5 , rappre- 

 sentata dal sistema | MW | , proiezione fatta da una retta generica in uno spazio S 3 ge- 

 nerico. 



Osserviamo che la curva doppia di 7 è una quintica gobba irriducibile 0, razionale e, 

 precisamente, dotata di punto triplo ( 20 ). 



Che 0, infatti, sia irriducibile segue dal fatto che la retta è generica; del resto se 

 8 si spezzasse, di essa, affinchè non ammetta ( :i0 ) infinite bisecanti (propriamente dette), 

 dovrebbe far parte una retta (almeno), retta che sarebbe proiezione di una curva d' ordi- 

 ne 2, di fi, cospaziale con 0, e ciò è assurdo perchè i piani delle coniche di fi formano 

 una varietà a tre dimensioni, varietà che non è dunque incontrata dalla retta 0, nè que- 

 sta giace, per la sua genericità, in alcuno degli spazi ordinari che le rette di 7, determi- 

 nano a due a due (sghembe). 



Dalla irriducibilità di e dal fatto che essa non ammette infinite bisecanti (propria- 

 mente dette), segue che è razionale e dotata di punto triplo. Ciò d' accordo coli' osser- 

 vare che la superficie "b è dotata ( ;il ) di un (sol) punto doppio apparente , onde per ogni 

 punto della retta passa una sola corda di , corda la cui traccia , nello spazio di 7, è 

 un punto di 8 ( 32 ). 



31. Esaminiamo ora l'ipotesi in virtù della quale la retta del n° precedente non 

 sia generica. 



a) Se o incontra uno (solo) dei piani delle coniche di f u allora la quintica doppia 

 (n° 30) della superfìcie 7 si spezza in una quantica gobba (irriducibile) con punto doppio, 

 e in una retta passante per questo punto e incidente ulteriormente la quartica stessa. In 

 questo caso è 2 (e non 3) la classe dell' inviluppo costituito dai piani delle coniche di 7 

 formanti il fascio cui appartiene (contata due volte) la retta doppia. 



b) Se incontra due (soli) dei piani delle coniche di uno stesso fascio di 7i, allora 

 la superfìcie 7 sarà rappresentata da tutte le cubiche passanti per quattro punti 1, 2, 3, 4, 

 e secanti due date rette q e q ', condotte per es. per il punto fondamentale 1, in coppie 

 di punti variabili coniugati di due date involuzioni quadratiche. 



Ciò posto consideriamo la conica, esistente ed unica , passante pei punti 2, 3, 4, e 



( 28 ) Ovvero: siccome la retta centro di proiezione è generica, essa non incontra la varietà generata dar 

 piani delle coniche del fascio (1), p. es. : ne segue che per la detta retta non passa alcun piano incidente 

 tutti i piani ora detti. 



( 29 ) A questa conclusione si può arrivare, più speditamente, osservando che 7 è la nota superficie di 

 CAPORALI. 



( 30 ) Ogni trisecante (propriamente detta) di 3 apparterrebbe a 7, superficie che (n° r, a) non è rigata. 

 ( 3) ) F. SEVERI, Intorno ai punii doppi impropri dì una superficie generale dello spazio a quattro di- 

 mensioni, e a' suoi punti tripli apparenti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XV (1901)] n° 9. 



( 31 ) Ne segue, di nuovo, che 8 è irriducibile e dotata di punto triplo. 



