Sulle superficie algebriche con influite coniche, >\ in particolare, ecc. 1 > 



secante q e q come ora si è detto. Essa rappresenta una cubica di 7, la quale è com- 

 planare con qualunque conica, di 7, avente per immagine una retta condotta per il punto l. 

 Ne segue che questa cubica è una retta tripla per 7. Dunque nella presente ipotesi la 

 quintica doppia di questa superfìcie (n° 30) degenera in due rette doppie e una retta tri- 

 pla incidente a queste. 



Se dei punti 1, 2, 3, 4 tre qualunque non sono collineari, allora queste l'ette doppie 

 sono sghembe, ed esistono quattro l'ette (semplici) di 7, ad esse incidenti; sono quelle 

 aventi per immagini le rette \\ 3 , X' i+ , 'k\, e il punto 1 ( :i3 ). 



Le quadriche passanti per le due rette doppie, per la retta tripla, e per una di que- 

 ste quattro rette (semplici), secano ulteriormente 7 nelle coniche di uno degli altri quattro 

 fasci di coniche in essa esistenti (oltre quello delle coniche complanari con la retta tripla). 



Viceversa ogni superfìcie irriducibile 7 siffatta, cioè avente per curva multipla sol- 

 tanto ( 34 ) una retta tripla e due rette doppie sghembe a questa incidenti, possiede quat- 

 tro fasci di coniche, oltre quello delle coniche complanari con la retta tripla. Infatti que- 

 ste ultime sono irriducibili, onde 7 non è rigata ; ne segue che questa superfìcie medesi- 

 ma è razionale, e quindi rappresentabile nel piano mediante un sistema lineare co 3 di 

 cubiche passanti per quattro punti fissi ( 3> ). 



c) Se la retta incontra i piani di due coniche appartenenti a due distinti dei fasci 

 di coniche di 71, allora la superficie 7 è dotata di una quintica doppia costituita da due 

 rette incidenti, e da una cubica gobba avente queste come sue corde (uscenti da uno 

 stesso suo punto). Questa cubica può ess,ere degenere o no ; in ogni caso è sempre tale 

 che insieme con le due rette (doppie) formi una quintica priva di infinite bisecanti pro- 

 priamente dette ( 36 ). 



Si noti che ognuno dei due fasci di coniche, di 7, cui appartengono (contate due 

 volte) rispettivamente le due rette doppie, è tale che 1' inviluppo costituito dai piani delle 

 sue coniche ha la classe 2 (e non 3). 



32. Se, invece, supponiamo che nel n° precedente e nel caso bj, i punti fondamen- 

 tali 2, 3, 4 sono collineari, allora le due rette doppie e la retta tripla di 7 passano tutte 

 e tre per uno stesso punto che è quadruplo per 7, cioè questa superficie è un monoide. 



E facile dimostrare che 7 possiede tre rette semplici uscenti dal suo punto singola- 

 re; inoltre i coni quadrici passanti per una di queste, per le due rette doppie, e per la 

 retta tripla, secano ulteriormente 7 nelle coniche di uno dei suoi tre fasci di coniche non 

 complanari con la retta tripla. 



33. Ritornando al caso generico circa la posizione dei punti fondamentali 1 , 2, 3, 4, 



( 33 ) È la superficie data in fine del n° 23. Vedi la ( 23 ). 



( 3i ) Con questa parola « soltanto » intendiamo evidentemente escludere la rigata gobba razionale d' or- 

 dine n — s, con due generatrici doppie e due rette direttrici infinitamente vicine, una tripla e l'altra doppia. 

 Questa rigata, che appartiene al tipo V di SCHWARZ, è precisamente il caso particolare a cui accenno nel 

 mio lavoro 



Sulle curve razionali del quinto ordine [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XIX (1905)], 

 nel n° 2 del cap. V. 



P 5 ) Del resto considerando le cubiche (irriducibili e razionali) ulteriori intersezioni di \ coi piani pas- 

 santi per una delle due rette doppie di questa, si prova 1' esistenza delle quattro rette (semplici) di f mei- 

 denti le due doppie, e di conseguenza l'esistenza dei fasci di coniche di 7 medesima. 



( 3C ) Vedi il n° 33. 



