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Giuseppe Mariella 



[Memoria XIV.] 



si tirino per tre di questi tre rette generiche. Si ottiene così un trilatero i cui vertici sono 

 immagini di tre punti della superficie 71 dell' S. ; ebbene, proiettando 71 in un S 3 da una 

 retta generica del piano di questi tre punti, si ottiene una superficie 7 dotata di tre rette 

 doppie concorrenti in uno stesso punto che è triplo (e non più) per essa. Questa poi, es- 

 sendo a sezioni piane ellittiche, avrà inoltre una curva doppia d'ordine 2, la quale, come 

 facilmente si dimostra, è una conica irriducibile incidente le tre rette doppie (non però 

 nel loro punto comune). 



Si noti, anche qui, che ognuno dei tre fasci di coniche, di "f, cui appartengono (con- 

 tate due volte) rispettivamente le tre l'ette doppie, è tale che l' inviluppo costituito dai pia- 

 ni delle sue coniche ha la classe 2 (e non 3), 



34. Si consideri la superficie 71 del n° precedente, e il piano tangente ad essa in un 

 suo punto generico P. Proiettando 71 in un S 3 da una retta generica di questo piano, si 

 ottiene una superfìcie 7 la cui quintica doppia si spezza in cinque rette passanti per uno 

 stesso punto, punto che è quadruplo per essa superfìcie. 



Infatti ciascuna delle cinque coniche di 7 1 passanti per P, ha la tangente, in questo 

 punto, posta nel sopradetto piano, e quindi incidente la retta centro di proiezione ( 37 ). 



La superficie 7 possiede cinque fasci di coniche, ciascuno passante per la conica (de- 

 genere) costituita da una delle cinque rette doppie, contata due volte. Le coniche di uno 

 qualunque di questi cinque fasci si ottengono secando 7 coi coni quadrici passanti per le 

 quattro rette doppie, distinte da quella retta doppia per la quale passa il fascio. In altri 

 termini possiamo dire che le coniche di uno stesso fascio, incontrano le quattro rette dop- 

 pie distinte da quella che (contata due volte) costituisce una conica del fascio medesimo. 



Si noti che è 2 la classe dell' inviluppo costituito dai piani delle coniche di qualun- 

 que dei cinque fasci di coniche di 7. 



35. Esaminiamo ancora l' ipotesi jjl = 3, ma supponiamo che (rc) non sia gobbo, cioè 

 supponiamo che tutti i suoi piani passino per uno stesso punto V. 



Il punto V appartiene alla superficie 7, e precisamente (n° 3) esso è doppio per que- 

 sta e punto base per il fascio di coniche (k). 



Il piano di una generica delle coniche di (k), seca ulteriormente 7 in una cubica ir- 

 riducibile ( 3S ) , onde (x) e (k) hanno lo stesso genere ; inoltre siccome questa cubica è in- 

 contrata in un sol punto variabile da una qualunque conica di (k), così essa è razionale 

 ellittica secondo che razionale ellittico è 1' inviluppo (x). 



36. Sia (-) ellittico. 



Un piano generico w seca 7 lungo una curva irriducibile 7w, sulla quale le coniche 

 di (le) segnano un'involuzione ellittica L; questa, com'è noto, ha 



o = 2 (p c + l)—4 — 2{p c -l) 



punti doppi, indicando con p e il genere della curva 7w. 



Servendoci., poi, delle medesime indicazioni del n° 2, si ha 



10 = 2.3 + -f 2o. 



( 37 ) Si noti che non è scopo di questo lavoro assegnare lutti i casi particolari che relativamente alla 

 loro curva doppia, possono presentare le superficie d'ordine n — 5 con infinite coniche. 

 Infatti 7 non è (n° 1, a) rigata. 



