Sulle superfìcie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 17 



a) Per %'—0 è 3 = 4 , e quindi p c = 3, cioè la curva "(co è dotata di tre punti doppi. 



La curva doppia di 7 è dunque una cubica gobba, la quale deve necessariamente es- 

 sere costituita da tre rette passanti per uno stesso punto O (triplo per 7) , perchè altri- 

 menti la superficie 7 sarebbe razionale. 



Di queste tre rette nessuna passa per V, punto base di (ic). Infatti proiettando da O 

 una qualunque conica di (k), si ottiene un cono quadrico che seca ulteriormente 7 in una 

 altra conica di [k) medesimo ( 39 ). Ne segue che i coni quadrici proiettanti da O le coni- 

 che di (/e), generano un fascio, e questo ha per rette basi le tre rette doppie di 7 e una 

 altra retta che non deve appartenere a questa superficie. Le coniche di (k) , quindi , in- 

 contreranno quest' ultima retta in un punto fisso che è necessariamente V , ed ecco che 

 V non appartiene ad alcuna delle tre rette doppie di 7. 



D' altra parte si osservi che un piano generico %\ di (rc), seca 7 lungo una conica di 

 (k) e una cubica ellittica (n° 35). Dei sei punti comuni a queste curve, uno è V, un al- 

 tro, facilmente si dimostra, è punto di contatto del piano tti con 7 , mentre i rimanenti 

 quattro punti sono doppi per questa superficie. 



Confrontando questo risultato col precedente, concludiamo che dei quattro punti va- 

 riabili doppi per 7 e posti in uno generico dei piani di (ic). uno (solo) deve essere sempre 

 infinitamente vicino a V, punto che quindi è un tacnodo per 7. 



Si ottiene così una superficie effettivamente esistente, nota, e della quale si fe' cenno 

 nel n° 22. 



b) Per §' — /, sarebbe § — 2 e quindi />,. - - 2, ciò che è assurdo perchè 7 non è ra- 

 zionale nè è rigata. 



37. Sia ora (it) razionale. 



Anche il fascio (k) sarà (n° 35) razionale. 



Dicasi (o un piano generico ; le coniche di (k) segnano sulla quintica (irriducibile) 7», 

 una gl avente un certo numero di punti doppi, e procedendo come nel n° 2, si ha 



10 = 2.3 + * + 21'. 

 Per §' =0 è ì~4, e quindi la curva 70) è ellittica. 



Dunque la superficie (razionale) 7 è rappresentabile, sul piano , mediante un sistema 

 lineare oo :i di cubiche passanti per quattro punti fissi, tre dei quali appartengano ad una 

 stessa retta immagine del punto doppio V di 7. Si ritrova così la superficie 7 del n" 29 ( 40 ). 



Che effettivamente l' inviluppo (ir.), costituito dai piani delle coniche di 7 passanti per 

 V, sia di classe jj. = 3, segue non soltanto dalla rappresentazione piana di questa super- 

 ficie, ma anche dall' osservare che per una retta / genericamente condotta per V, passano 

 i piani delle tre (sole) coniche di (k) le quali, oltre che per V, passano pei tre punti t'{ 

 distinti da V. 



Non può, poi, essere 8' = /, perchè in tal caso si verrebbe all' assurdo di essere 7 

 a sezioni piane razionali. 



38. Esaminiamo ora 1' ipotesi per la quale l 1 inviluppo (x), costituito dai piani delle 

 coniche del fascio (le), sia di classe jx = 2. 



Siccome 7 non è rigata, ogni piano di (ir.) contiene una sola conica di (k), e passerà 



( 39 j Ciò perchè 7 non è rigata, nè, essendo irrazionale, possiede (come semplice) alcuna curva razionale, 

 oltre le coniche di {k) e le rette (in numero finito) parti di coniche (degeneri) di (£) medesimo. 



( 40 ) È chiaro che nel n" 27 si poteva dare una dimostrazione perfettamente identica a quella ora data. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Meni. XIV. 



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