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Giuseppe Marìetta 



| Memoria XIV.] 



per un punto fisso V che (n° 3) sarà per 7 o semplice triplo, e soltanto in questo se- 

 condo caso esso sarà un punto base per il fascio (k). 



Dicasi w un piano generico ; le coniche di (k) segnano sulla quintica (irriducibile) fi» 

 una g\ avente un certo numero <5 di punti doppi. Ragionando come nel n° 2, si ha 



10 = 2.2 + 1+ 2V. 



a) Per o=0 è o=6, e quindi la curva 70) è di genere 2, onde la superficie (ra- 

 zionale) 7 è dotata di una quartica ( 41 ) doppia (degenere o no, ma sempre priva di infi- 

 nite trisecanti propriamente dette). 



Per ottenere una superficie 7 siffatta basta applicare la costruzione del n° 4 , suppo- 

 nendo |i— J? ed s=p=v = l. 11 punto V, vertice del cono quadrico inviluppato dai 

 piani di (%), sarà per 7 triplo o semplice, secondo che esso appartiene no alla quartica 

 base del fascio (x) di quadriche. Evidentemente V sarà un punto base per (k) soltanto 

 nel primo caso. 



Del resto la superficie 7 in esame è proiezione generica della 7, dell' S i rappresen- 

 tata, nel piano, dal sistema lineare | ^-^ 1 s 2 34 5 678 1 ; il fascio (k) è proiezione del fascio di 

 coniche {k L ) di ~( L avente per immagine le rette Xj . È poi facile dimostrare, direttamente, 

 che i piani di queste coniche generano una iperquadrica, la quale è, evidentemente, un 

 S Q - cono avente per vertice il punto Vi di 7, rappresentato dall' ulteriore punto base del 

 fascio | XiW™ | ( 42 ). 



b) Per <3' = / è S = 4, e quindi la curva 70) è ellittica, onde la superficie (razionale) 

 7 ha come doppia una quintica ; questa è certamente degenere, perchè di essa fa già parte 

 una retta la quale, contata due volte, è una conica di (k). 



La superfìcie 7 è proiezione della superfìcie 7, del n. 28, ove si prenda come retta 

 centro di proiezione, una retta incidente un (sol) piano che contenga una conica qua- 

 lunque di questa superficie medesima 71. Il fascio di coniche di 7, cui appartiene questa 

 conica, ha per proiezione il fascio (k) di 7 ( +3 ). 



Si noti che, in particolare, la retta può incontrare, inoltre, uno o più piani conte- 

 nenti coniche, di 7, che appartengano però agli altri fasci di coniche di 71 medesima. Si 

 veda, p. es., il n. 34. 



( 41 ) Si noti che 7 non può avere alcuna retta tripla, perchè dovendo ogni punto generico di questa ap- 

 partenere a tre coniche di (k). sarebbe esso un punto base per il sistema (ir), e ciò è assurdo. 



( 42 ) Le cubiche di -{ L rappresentate dalle curve di questo fascio | X 3 i 2 345678 | , sono piane, e le tracce dei 

 loro piani nel piano di una qualunque conica di (/£■(), sono le rette passanti per il punto J\. Ne segue che 

 se si proietta ~[ l non da un punto generico dell' 5 4 ambiente, ma da un punto generico complanare con una 

 qualunque conica di [k^j, si ottiene una superficie 7, d'ordine 11—5, dotata di retta tripla e di una retta 

 doppia a questa incidente. In tal caso il fascio (k) si ottiene secando 7 coi piani passanti per la retta tripla. 



Si ottiene dunque un caso particolare della superficie assegnata in fine del n° seguente. 

 Si noti, infine, che se p. es. i quattro punti fondamentali 5, 6, 7, 8 sono collineari, allora T t , e quindi 

 7, possiede un punto triplo base del suo fascio di coniche. 



( 43 ) Se la retta o incontra (genericamente) i piani di due coniche appartenenti ad uno stesso fascio di 

 coniche di 7^ allora questo avrà per proiezione il fascio di coniche di 7 complanari con la retta tripla di questa 

 superficie medesima. E precisamente : le due coniche ora dette avranno per immagini due rette q e q' pas- 

 santi, p. es., per il punto 1, e su ciascuna delle quali esiste una involuzione quadratica immagine di quella 

 avente per centro il punto di o complanare con la detta conica. La retta tripla di 7, poi, è proiezione della 

 cubica gobba avente per immagine la conica passante per i punti 2, 3, 4, e secante q e q' in coppie delle 

 dette involuzioni in esse esistenti. Si ritrova cosi ancora una volta la superficie del n° 23. Vedi la ( 33 ). 



