Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 19 



39. Esaminiamo finalmente i' ipotesi \i — 1, supponiamo cioè che (ic) sia un fascio ; 

 indicheremo con r il suo asse. 



La ietta /' è per 7 tripla o semplice, e ciò perchè questa superfìcie è irriducibile. 

 Nella prima ipotesi 7 è dunque una superficie non rigata d'ordine // = 5, avente 

 una retta tripla. 



I casi particolari che 7 possegga, inoltre , una due rette doppie (sghembe no), 

 furono esaminati rispettivamente nell'annotazione ( l2 ) e nei n.i 31 b e 32. 



40. Nella seconda ipotesi ogni piano condotto per r seca ulteriormente 7 in due coni- 

 che ambedue appartenenti al fascio (k), giacché altrimenti questa superficie 7 si spezzerebbe. 



Cominciamo a supporre che (k) non abbia alcun punto base (in r). 



Siccome per ogni punto di r passa una sola conica di {k), questo fascio è razionale, 

 onde anche 7 è (Noether) razionale. Inoltre in ogni piano di (ic) esistono quattro punti 

 doppi per 7, e siccome in r non esiste ( 44 j alcun punto multiplo per questa superficie , 

 così possiamo concludere che la curva multipla di 7 è una quartica doppia (degenere 

 no, ma sempre priva di infinite trisecanti propriamente dette). 



A questa medesima conclusione si perviene applicando le considerazioni solite, cioè 

 considerando una sezione piana generica 703, ed osservando che è t'=0. 



Giacché 7 è a sezioni piane di genere 2, essa è proiezione della superficie 71, dell'S 4 , 

 rappresentata dal sistema lineare |^V~ 234 5678 | > ove 1 punti 2,3,4,5,6,7,8 appartengono 

 ad una stessa conica, immagine di una retta ri di 71. Le coniche di 71, aventi per imma- 

 gini rette passanti per il punto /, sono complanari con i\ ; ne segue che 7 è proiezione 

 di 71 da un punto generico dell' S i ambiente ( 45 ). 



41. Supponiamo ora che il fascio (k) del n° precedente abbia un punto base A (in /'). 



Anche in questa ipotesi 7 è razionale. Inoltre siccome un pirmo genericamente con- 

 dotto per r seca ulteriormente 7 in due coniche di (k), così A è triplo per questa super- 

 fìcie; gli altri tre punti comuni alle dette due coniche, saranno doppi per questa medesima. 



Dicasi co un piano generico ; le coniche di {k) segnano sulla quintica (irriducibile) ja> 

 una g\ avente un certo numero ò" di punti doppi, onde, con le indicazioni del n° 2, si ha: 



a) Per 3' = è h = 6, e quindi la curva 70J è di genere 2, cioè la curva doppia ( 4 ") 

 della superficie 7 è una quartica ( degenere o no, ma priva dì infinite trisecanti propria- 

 mente dette). 



Si costruisce una superficie 7 siffatta se nel n° 4 si pone [i = v =p = / , s = 2, e 

 si ammette che la retta r, asse del fascio (x), si appoggi in un (sol) punto A alla quar- 

 tica base di (x). Se questa quartica ha come doppio il punto A, allora dei tre punti co- 

 muni, oltre di A, a due coniche di (k) poste in uno stesso piano passante per /', uno è 

 sempre infinitamente vicino ad A, cioè queste due coniche si toccano in questo punto. 



Comunque 7 è proiezione della superficie 71, dell'.S 4 , rappresentata dal sistema lineare 

 1^-* i 2 2 ;4 5 678 / > ove 1 punti 2, 3, 4 sono collineari , e così pure sono collineari i punti 

 5, 6, 7, 8. 



( 44 ) Ciò perchè per ipotesi (k) non ha alcun punto base. 

 (* 5 ) Vedi anche il n° 18. 

 ( 46 ) Vedi la nota ( 41 ). 



