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Giuseppe Mariella 



[.Memoria XIV.| 



b) Per è' = / è h = 4, e quindi la curva 70» è ellittica, cioè la curva doppia della 

 superfìcie 7 è una quintica ; questa è certamente degenere perchè di essa fa già parte una 

 retta la quale, contata due volte, è una conica di (k). 



Consideriamo la superficie fj, dell' S 3 , rappresentata, nel piano, dal sistema lineare 

 [ ^?2m| , ove i punti 2, 3, 4 appartengono ad una stessa retta. Questa rappresenta un punto 

 doppio A l} di Yi, per cui passano tutte le coniche (ki) rappresentate dalle rette XJ , coniche 

 che si appoggiano tutte alla retta avente il punto 1 per immagine. 



La superficie 7 è proiezione della superficie 7,, proiezione fatta da una retta o inci- 

 dente genericamente il piano A i i\. La conica di (k L ) complanare col punto in cui questo 

 piano è incontrato da o, ha per proiezione la retta doppia, di 7, che contata due volte è 

 una conica di (fc). 



42. Supponiamo ora che il fascio (k) del n° 40 sia dotato di due punti base A e B 

 (di r), punti che dunque sono tripli per la superficie 7. 



Dicasi co un piano generico e P un suo punto generico. Le coniche di (k) segnano 

 sulla curva (irriducibile) "(cu, un' involuzione T l a avente lo stesso genere p f di (k). 



Cominciamo ad esaminare 1' ipotesi per la quale il fascio (k) sia razionale. 



Ripetendo le considerazioni del n° precedente, deduciamo che i casi da esaminare sono 

 due, e precisamente il caso in cui la curva doppia di 7 sia una quartica (passante per A 

 e B), e quello in cui la detta curva doppia sia una quintica della quale faccia parte una 

 retta immagine (doppia) di una conica di (k). 



a) Si ottiene una superficie 7 con quartica doppia (degenere o no) se nel n° 4 si pone 

 l-i = v = p = /, s = 2, e si ammette che la ietta /', asse del fascio (rc), sia corda della 

 quartica base del fascio (.\-). 



Comunque 7 è proiezione della superficie 71, dell' S 4 , rappresentata nel piano dal si- 

 stema lineare | ^ 4 122345678 | ? ove ' punti 2,3,4,5 sono collineari, e così pure sono colli- 

 neari i punti 5, ó, 7, 8. 



b) Il secondo caso, cioè che 7 abbia una quintica doppia (riducibile), si esclude su- 

 bito se i punti A e B sono distinti. Infatti la retta doppia immagine (doppia) di una co- 

 nica di (k), dovendo passare per A e B, coinciderebbe con la retta = AB, la quale 

 quindi non sarebbe semplice per la superfìcie. 



Ma se B è infinitamente vicino ad A, se cioè le coniche di (k) toccano tutte la retta 

 r nel punto A, allora una siffatta superficie 7 esiste. 



Sia infatti (-) un fascio di piani di asse r e (.v) un fascio di coni quadrici passanti 

 per le rette incidenti di, d 2 , e tutti tangenti, lungo una generatrice fissa fife, il piano rrf 3 

 (onde r e (/3 sono incidenti). Se si stabilisce fra gii elementi dei due fasci una corrispon- 

 denza (2, 2), tale che al piano rd% di (iz) corrisponda, in (x), il cono costituito dai piani 

 rd 3 , did-i, e il cono costituito dai piani d.^d^ did-z, con la condizione, inoltre, che ad un 

 certo piano generico " £ di (~) corrisponda, in (x), un certo cono generico x t contato due 

 volte, e viceversa a x i corrisponda, in (it), il piano x t contato due volte, si ottiene come 

 luogo della conica comune a due elementi omologhi (n° 5), insieme col piano rdg, una 

 superficie 7 d'ordine ;/ = 5, con un fascio razionale (k) di coniche a due a due nei piani 

 passanti per r, e avente come curva doppia la conica % l x l e le tre rette d if d 2 , d 3 , l'ultima 

 delle quali è, contata due volte, una conica di (k). 



43. Supponiamo ora che l'involuzione II del n° precedente, sia di genere p,^>0. 

 Dal fatto che un piano qualunque condotto per la retta r, seca ulteriormente 7 in due 



