Sulle superficie algebriche con infinite coniche, e, in particolare, ecc. 21 



coniche aventi due punti variabili comuni ( 47 ), segue che un piano x genericamente con- 

 dotto per A, p. es., seca la superficie 7 in una quintica che possiede, oltre di A, almeno 

 un punto doppio. Dunque la curva 71 è di genere minore di 3 ; ma questa curva e il fa- 

 scio (k) hanno, evidentemente, lo stesso genere, quindi (n° 42) e p t << 3 ( 4S ). 



a) Sia pi — 2, e consideriamo la solita relazione 10 — 4 -j- § -f" 2f . 



Per % = e = 6 e quindi p,, = 6, cioè la sezione piana generica di 7 è priva di 

 punti multipli. Ne segue che questa superficie 7 è ( 49 ) dotata di due punti tripli distinti 

 ognuno dei quali è tale che nel suo intorno esista una retta doppia infinitesima, ovvero 

 è dotata di un punto triplo nel cui intorno esista una retta doppia infinitesima contenente 

 un punto triplo osconodale. 



b) U ipotesi §' > ( 50 ) si esclude subito, perchè un piano genericamente condotto per 

 una retta doppia di 7, retta che, contata due volte, sia conica di (k), secherebbe ulterior- 

 mente 7 in una cubica (irriducibile) i cui punti sarebbero in corrispondenza biunivoca con 

 le coniche di (k), ciò che è assurdo essendo (k) di genere pi = 2. 



44. Supponiamo infine che sia p, = 1. 



Dalla solita relazione 10 = 4-\- 8 -f- 2% si ricava : 



a) per h' = 0, è "0=6 e quindi p = 4 ì cioè la superficie 7 possiede una conica dop- 

 pia (degenere no), passante per A, p. es., soltanto, ovvero per A e B, ovvero non pas- 

 sante per alcuno di questi punti ( ol ). 



b) Per ìl — 1 il punto B dev'esser infinitamente vicino ad A, cioè le coniche di (k) 

 toccano tutte la retta r in A. Inoltre e à=4 e quindi p L . = 3, onde la superficie 7 pos- 

 siede come doppia una cubica della quale fa parte una retta, e precisamente quella che, 

 contata due volte, è una conica di (k). Siccome, poi, 7 non è razionale, così questa cubica 

 si spezza in tre rette (non complanari e) passanti per uno stesso punto. 



Una superfìcie siffatta esiste ed è nota ( 52 ); del resto si ottiene una tal superficie 7 

 se si applica la medesima costruzione esposta nel n° 42 b, escludendo 1' ultima condizione 

 relativa al piano % i di (it) e al cono x t di (x), esclusione che porta di conseguenza essere 

 ellittico, e non razionale, il fascio (k). 



c) Infine 1' ipotesi 8' ^> 1 si esclude, perchè porterebbe alla razionalità di 7, mentre 

 questa è irrazionale perchè possiede il fascio ellittico (k). 



Catania, 29 dicembre 1914. 



( 47 j Questi due punti possono essere infinitamente vicini no, sia tra loro che ad A e B, i quali alla 

 loro volta possono essere infinitamente vicini no. 



( 48 ) Alla medesima conclusione si perviene col solito procedimento, considerando cioè una sezione piana 

 generica -(oj, le eguaglianze io — 4 + S + 20' e — 2(p c -f- 1) — 4Pi , e tenendo conto che una quintica piana 

 è al massimo di genere 6. 



( VJ ) Ciò d'accordo col DE FRANCHIS, 1. c. in ('), n° 1. 



( 50 ) Si noti, intanto, che in tal caso il punto B dovrebbe essere infinitamente vicino al punto A. 



( 51 ) Ciò d'accordo col DE FRANCHIS, 1. c. in ('), n° 2, ove si trovano dettagli circa la composizione dei 

 punti singolari A e B. Si noti, p. es., che se la conica doppia passa per A ma non per B, allora mentre 

 questo è un punto triplo ordinario, I' intorno di A possiede una retta doppia infinitesima. 



( M ) SlSAM e TOGLIATTI lj cS in ( 22 ). 



