Vincenzo Amato 



[Memoria XV.J 



Ogni sostituzione ortogonale periodica di ordine n e di carattere (;;/,, w 2 , ... 

 m 2 , uh , m p ) si ottiene dalla forinola 



S = ìT- j <m . 



dove A è sostituzione ortogonale qualunque di ordine n e 



/ (1 > cos 



, - r sen — , 



<D = 



,/ 2) sen 



/<» S en — , 



4- 



cos 





 



4- 



/" COS y , 



(p)i 



(i) 



Nella $, scritta in forma abbreviata, J in esprime una matrice di nr r numeri tutti 



nulli, all' infuori di quelli disposti lungo la diagonale principale che sono eguali al. La 



$ è una sostituzione reale, di ordine //, ortogonale e periodica di carattere (tUi , ui 2 , ... , 



(£) 



m 2 , ni\, >u p ) Se p è pari ed è ui r , > figurerà nella al posto dovuto, la matrice — Jy' 



T 



La S — A~ l $>A può anche non essere reale se, com'è lecito supporre, non è sempre 

 reale la A. Così il teorema sopra enunciato fornisce tutte le sostituzioni ortogonali perio- 

 diche, siano o no reali, classificate secondo il carattere e per ogni classe ne fornisce una 

 di forma canonica reale. 



Per p = 2 si hanno le sostituzioni ortogonali involutorie. La $ si trasforma in una 

 sostituzione di elementi tutti nulli all' infuori di quelli della diagonale principale dei quali 

 i primi m p sono eguali a — le gli altri ni r> a 1. Queste sostituzioni sono state studiate 



dal Prym (*). 



Osserviamo che, qualunque sia p, le O di modulo 1 rappresentano rotazioni finite 

 reali intorno all'origine e quelle di modulo — 1 rappresentano antiro/azioui. Sarebbe fa- 

 cile la decomposizione delle prime in rotazioni elementari intorno a spazi assiali mutua- 

 mente ortogonali : ciò concorda coi risultati generali sulle rotazioni finite reali, trovati dal 

 Jordan (**). 



In questa Nota è ripreso lo studio della sostituzione (& allo scopo di metterla sotto 

 una forma che presenti con maggiore evidenza la legge di composizione. Questa nuova 



(*) Ueber orthogonale, invohttorische und orthogonal-involutorische Substitutionen (Abhandl. d. matti. 

 Classe der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Bd. XXXVIII). 



(**) Essai sur la geometrie à n dimensions, Bulletin de la Société matti, de France, 1875, tomo III. Cfr. 

 anche la memoria di BEMPORAD : Sui gruppi di movimenti e similitudini nello spazio a j, 4 e 5 dimen- 

 sioni. Annali della R. Scuola normale sup. di Pisa, voi. Vili. Una classificazione delle similitudini piane e spa- 

 ziali e, in particolare, delle isomerie nel piano e nello spazio si può leggere nei Complementi di geometria 

 (voi. I) del prof. G. SCORZA (Bari. Laterza, 1914, p. 101 e 117). 



