Sulla forma canonica delle sostitusioni ortogonali periodiche 



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4. Giusta la corrispondenza stabilita al n. 2 , si ha che alle sostituzioni ortogonali 

 periodiche di carattere {ni i , ... , /;/, , m p ) corrisponde il numero complesso 



e i cos t 1 + • ■ ■ + e P-i sen j- + e P i 



che ha al più p unità. 



Si è condotti allora a stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi 



a l e l -f- . . . -f Up-iep..! -f~ 

 e le sostituzioni T studiate al n. 3, alle quali si può dar la forma (n. 1) : 



+ ••• + <*p-Aì + "p%, (8) 



di cui passiamo a stabilire le proprietà principali. 

 La (8) sarà ortogonale se 



a\ -f «Vi = M% + «Va = !>•••> «% = lv 



alle quali condizioni, se p è pari e m p >0 si deve anche aggiungere: 



Vogliamo adesso determinare le condizioni alle quali debbono soddisfare i numeri 

 reali a perchè la (8) sia periodica di carattere (m l ,..., ni L , m p ). Poiché si deve avere 



T" = J , 



ovvero 



4- • • ■ + «p-i + a P %Y = $i + o 2 -f . . . 4- % , 



essendo <T r < — . si hanno, avuto riguardo all'osservazione fatta alla fine del n. 2 sul 

 prodotto delle unità e, le seguenti condizioni : 



(a, + = 1, («, + top-,)* = 1 • • , a p P = 1 , 



alle quali, se p è pari ed è m„ > 0, si deve aggiungere l'altra: 



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