Memoria XX. 



Sulla convergenza delle serie di funzioni ortogonali 

 Nota di Carlo Severini ' * 



Nella Nota " Oh the convergern e of series of ortkogonal functions " [Procee- 

 dings of the London Mathematical Society, Ser. 2, Voi. 12 (1912), Part. 4, pp. 297-308] 

 il Sig. Hobson , continuando le ricerche di Fatou (*) sulla serie di Fóurier e quelle di 

 Weyl (') sulle serie generali di funzioni ortogonali , perviene con un nuovo metodo ai 

 seguenti teoremi : 



A. Se ( 1\ (x). $2 (x), costituiscono una successione di funzioni normali, 



ortogonali , e se la serie l" c A 2 -j- 2" c 2 ' 2 -f" + '">* c n Z ~h •••• converge per qualche 

 valore di k, maggiore di zero, allora la serie c l ( l> l (x) -f- c 2 <& 2 (x) -j- .... -j- c n 3> n (*) -]-.... 

 converge in tutti i punti dell'intervallo, pel quale le funzioni ortogonali sono 

 definite, fatta al più eccezione per un insieme di punti di misura nulla. La con- 

 vergenza è quasi uniforme, nel senso che si pub determinare un insieme di punti 

 di misura minore , ma prossima quanto si vuole a quella dell' intervallo , nel 

 quale la convergenza della serie è uniforme. 



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B. Se, per qualche valore di p maggiore di zero, n- c u converge a zero, al 



crescere infinito di n, la serie S„ c„ <& u (x) è convergente in tutti i punti dell' in- 



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tervallo , pel quale le funzioni normali, ortogonali 0„ (x) sono definite, fatta al 

 più eccezione dei punti di un insieme di misura nulla. 

 Le condizioni 



lim j// T+ %„j = 0, lini b,\ = , 



per qualche valore di p maggiore di zero, sono sufficienti, affinchè la serie trigo- 

 nometrica 



~ a o T y («,< cos nx -j- b n sen nx) 

 i 



sia convergente, colla stessa eccezione sopra detta. 



C) Presentata all'Accademia nell'adunanza del 6 Febbraio 1915. 



(') Cfr. P. FATOU : Séries irigotiométriques ri séries de Taylor [Acta mathematica, T. 30 (1906) 

 pp. 335 _ 40o]. 



( z ) Cfr. H. WEYL: Uber din Konvergenz von Reihen , dir- nach Orthogonalfituktionen fortschreiten 

 [Mathematische Annalen, Bd. LXVII I1909) pp. 225-245]. 



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