2 



Carlo Severiui 



| Memoria XX.] 



Questi due teoremi comprendono quelli di Fatou e di Weyl, e costituiscono, per la 

 generalità delle condizioni in essi contenute, un progresso notevole nella teoria delle serie 

 di funzioni ortogonali, giacché il problema fondamentale dello sviluppo di una funzione f{x), 

 sommabile insieme col suo quadrato, in serie di funzioni <3> n (x), se il sistema delle <!>„ (x) 

 è chiuso, o altrimenti se, detto (a,b) l'intervallo (finito), in cui queste sono definite, si ha: 



f n f{x) 6 (x) dx = 0, 



per ogni soluzione effettiva (x) delle equazioni integrali 



[ b a %(x)Q H (x)dx = 0, (;/=l,2,...), 



si riduce a constatare che la serie : 



CO 



A„ 4>„ (x) A„ = \" f(x) <I>„ (x) dx 



l 



converge quasi da per tutto neh' intervallo (a, b) ( 3 ). 



A complemento dei risultati di Hobsou, c'è luogo a ricercare se e come dal valore 



00 



dell'esponente k dipenda il modo di convergere della serie S w c n (.r), ed io qui mi prò - 



ì 



00 



pongo di far vedere, che, se la serie -„ n" c'„ converge per un valore di k maggiore di 1, in 



i 



particolare se n h | c n \ (le y" 1) si mantiene per ogni // minore di una costante positiva, 



OC 



finita, la serie S„ c„ $>„ (x) converge assolutamente quasi da per tutto nell' intervallo (a, b), 

 ì 



che converge inoltre assolutamente in ogni punto di {a, b), se in ogni punto di {a, b) è 

 limitata (potrebbero farsi ipotesi meno restrittive) la successione dei valori delle ( I>„ (x), e 

 per ultimo che converge anche uniformemente, se uniformemente limitate sono le („r). 

 Questi ed altri analoghi teoremi formano 1' oggetto della presente Nota. 



1. Sia F (x, y) una funzione, sommabile insieme col suo quadrato nel campo 



(1) a ^ x ^ b , a ^ y ^ b , 

 e s' indichi con : 



(2) <P,W, <p 2 (.r),..., q> n (x),..., 



(3) <|>,(x), *,(*),..:, ^ n (x) 



( 3 ) Cf. C. SEVERINI: Sopra gli sviluppi in sèrie di /unzioni ortogonali, § 5 [Atti dell' Accademia Gioe- 

 nia di Scienze Naturali in Catania, serie V, voi. Ili (1910), Memoria XI]. Per altre citazioni cfr. C. SEVERINI 

 Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali nota 6) [Rendiconti del Circolo Matematico di 

 Palermo. Tomo XXXVI (2 seni. 191 3)]. 



Dicendo che la serie converge quasi da per tutto nell'intervallo (a, b) s'intende, secondo l'uso, che 

 possono al più fare eccezione i punti di un insieme di misura nulla. Non fa d' uopo aggiungere che la serie 

 converge uniformemente in generale, giacché ciò segue necessariamente dal fatto che la serie converga quasi 

 da per tutto. Questo teorema è stato da me stabilito nella prima delle due note. Cfr. anche D.-TH. EGOROFF : 

 Sur Ics suites de fonctions mesurables. [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 

 (Paris), tome CLII (i'' r semestre 191 1). pp. 244-246]. 



