Sulla convergenza delle sene di funzioni ortogonali 



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un sistema completo di coppie di autofunzioni ortogonali del nucleo F(x,y), con 



\ , \ , . . . , X„ 



la corrispondente successione di autovalori, per i quali si ha ( 4 ) 



| cp„ (x) = K f a F(x,y)ty n (y)dy 

 j c|>„ (x) = K £ F (v, x) q>„ (3-) dy 



(4) { («=1,2,...,) 



Si consideri la successione (2) (le medesime considerazioni valgono per la (3) ), e si 

 formi la serie 



(5) 



"V c n cp„ (x) , 



i cui coefficienti sono quantità date. 

 Si ha per le (4) : 



*y | c n fp„ (x) | = | A.„ c„ / " F (x, v) 4>„ (y) dy \ , 



m m 



donde, ponendo: 



d n (x) = (" F(x,y) c|>„ (y) dy (n=ì, 2,...) , 



si ricava : 



2 i c » (*) i = 2 ' x " c " r/ " ( - v) 1 ' 



che si può anche scrivere 



TO+P 



2 /( ! c n c P/ , (.v) | =f a | I V, Cn ! cp„ ( v) | [ ^ I rf„ ( r) | cp„ (3-)] dy 



m m ni 



Applicando la disuguaglianza di Schivava, se ne deduce : 



(6) |2. : c. v . (.v)|] ! s[2.»i<4 ][2 ( 



rf„ (.V 



(') Cfr. E. SCHM1DT : Z/c/ Theorie der lineare» una" nichtlinearen Integralgleichungen [Mathematische 

 Annalen. Bd. LXIII (1906), Heft 4, p. 462]. 



