Sitila convergenza delle serie di funzioni ortogonali 



2. Ciò posto, sia data una successione qualsivoglia di funzioni ortogonali 



.(8) * t (*), *,(*),..:., <J>„ (.r) , . . . , 



sommabili insieme coi loro quadrati nell' intervallo («, b), ed una successione di quantità 



(9) |ij , |A 2 , n, , 



tali che converga la serie 



(10) 



Se si considera ( ,; ) nel campo (1) la corrispondente successione delle funzioni 



?''„ ( x , y) = (x) 4>„ (v) 2...) , 



i 1 per /// = ;/ 

 ( per /// =|= n 



si vede che questa risulta composta di funzioni ortogonali, giacché si ha 

 f j " «"„ (.r, >F n (.v, v) dxdy = f $ m (.r) *„ (.v) rfx / '' $ m (a-) 4>„ (a-) dy 



Segue allora, per la convergenza della (10), che la successione 



m 



(11) G m (x,y) = y ±-V.{x,y) (m=ì,2...) 



1 



converge in media nel campo (1): si ha infatti: 

 /" f a | G m+P (x, y) - G m {x,y)J~ dxdy = /" j" — (x, v) ]' rfatfy = 2„ 7- 



Sia G(x,y) la funzione simmetrica, sommabile insieme col suo quadrato, alla quale 

 la (11) converge in media; sarà : 



' G (x, y) — G m {x, y) I dxdy = 



( 6 ) Cfr. G. LAURICELLA : Sopra i nuclei reiterati [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma) 

 voi. XX, serie 5 a (i° sem. igni fase. T2 ]. 



